Determine um vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
e^{2 x-y}+2 x+2 y=4, P_{0}(1 / 2,1))
e^{2 x-y}+2 x+2 y=4, P_{0}(1 / 2,1))
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um vetor normal e a equação da reta tangente à curva implícita
no ponto
. O tema é derivadas parciais e reta tangente a curvas implícitas, então vamos usar o gradiente de uma função nível e a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Definimos a função cujo nível zero descreve a curva:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
Passo 4
Avaliaremos o gradiente em
. Como
, temos
. Logo:
Um vetor normal à curva em
é
.
Passo 5
Para a reta tangente a uma curva implícita, vale a fórmula:
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
Um vetor normal é
e a reta tangente é dada por
.