Determine um vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
e^{2 x-y}+2 x+2 y=4, P_{0}(1 / 2,1))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor normal e a equação da reta tangente à curva implícita e^2x-y + 2x + 2y = 4 no ponto P0(tfrac12,1). O tema é derivadas parciais e reta tangente a curvas implícitas, então vamos usar o gradiente de uma função nível e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Definimos a função cujo nível zero descreve a curva:
F(x,y) = e^2x-y + 2x + 2y - 4

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
Fx(x,y) = 2e^2x-y + 2,
Fy(x,y) = -e^2x-y + 2

Passo 4

Avaliaremos o gradiente em P0(tfrac12,1). Como 2x - y = 2cdottfrac12 -1 = 0, temos e^2x-y=1. Logo:
Fx(tfrac12,1) = 2cdot1 + 2 = 4,
Fy(tfrac12,1) = -1 + 2 = 1
Um vetor normal à curva em P0 é (4,1).

Passo 5

Para a reta tangente a uma curva implícita, vale a fórmula:
Fx(x0,y0),(x - x0) + Fy(x0,y0),(y - y0) = 0
Substituindo (x0,y0)=(tfrac12,1) e (Fx,Fy)=(4,1), obtemos
4(x-tfrac12) + 1(y-1) = 0, que se rearranja para 4x + y - 3 = 0 ou ainda para y = 3 - 4x.

Resposta

Um vetor normal é (4,1) e a reta tangente é dada por y = 3 - 4x.

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