Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integraly^1 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integraly^1 e^x^2 ,dx,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini para trocar a ordem e depois técnicas básicas de integração por substituição.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano xy. Temos
0 <= y <= 1 e y <= x <= 1
Isso descreve o triângulo abaixo da reta x=y entre x=0 e x=1. Se invertermos as variáveis, x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até x.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem trocada, fica
integralx=0^1integraly=0^x e^x^2 ,dy,dx

Passo 4

Dentro dessa integral trocada, a função e^x^2 não depende de y, então
integraly=0^x e^x^2 ,dy = e^x^2integral0^x dy = x,e^x^2
Assim a integral dupla vira uma integral simples em x:
integral0^1 x,e^x^2 ,dx

Passo 5

Para calcular integral0^1 x,e^x^2 ,dx, fazemos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Logo
integral0^1 x,e^x^2 ,dx = 12integral0^1 e^u ,du

Passo 6

Integrando em u, obtemos
12l[e^ur]0^1 = 12l(e^1-e^0r) = e-12

Resposta

e-12

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