Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
trocando a ordem de integração. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Fubini para trocar a ordem e depois técnicas básicas de integração por substituição.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. Temos
Isso descreve o triângulo abaixo da reta
entre
e
. Se invertermos as variáveis,
vai de
a
e, para cada
,
vai de
até
.
Passo 3
Reescrevendo a integral com a ordem trocada, fica
Passo 4
Dentro dessa integral trocada, a função
não depende de
, então
Assim a integral dupla vira uma integral simples em
:
Passo 5
Para calcular
, fazemos a substituição
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Logo
Passo 6
Integrando em
, obtemos