Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^4 integralraizx^2 1y^3+1 d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^4integralraizx^21y^3+1,dy,dx
e pede que a gente troque a ordem de integração. O conteúdo principal aqui é identificar o domínio de integração no plano xy, reescrevê-lo invertendo os limites e então calcular a nova integral.

Passo 2

Vamos descrever o domínio
D=(x,y)mid 0<= x<=4, raizx<= y<=2
A condição raizx<= y equivale a x<= y^2, e como raizx só faz sentido para x>=0, vemos que y varia de 0 até 2 (pois raizx<=2 x<=4) e, para cada y fixo, x varia de 0 até y^2. Logo
0<= y<=2, 0<= x<= y^2

Passo 3

Trocando a ordem de integração, a integral vira
integraly=0^2integralx=0^y^21y^3+1,dx,dy
Como tfrac1y^3+1 não depende de x, o integral interno é simples:
integral0^y^21y^3+1,dx =y^2y^3+1
Então ficamos com
integral0^2y^2y^3+1,dy

Passo 4

Para calcular
I = integral0^2y^2y^3+1,dy
fazemos a substituição
t = y^3+1, dt = 3y^2,dyLongrightarrow y^2,dy = dt3
Quando y=0, t=1; quando y=2, t=2^3+1=9. Assim
I = integralt=1^91tcdotdt3 =13integral1^9dtt

Passo 5

Integrando, obtemos
I = 13l[ln tr]1^9 =13ln(9) =23ln(3)

Resposta

integral0^4integralraizx^21y^3+1,dy,dx =23ln(3)

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