Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede que a gente troque a ordem de integração. O conteúdo principal aqui é identificar o domínio de integração no plano
, reescrevê-lo invertendo os limites e então calcular a nova integral.
Passo 2
Vamos descrever o domínio
A condição
equivale a
, e como
só faz sentido para
, vemos que
varia de 0 até 2 (pois
dá
) e, para cada
fixo,
varia de 0 até
. Logo
Passo 3
Trocando a ordem de integração, a integral vira
Como
não depende de
, o integral interno é simples:
Então ficamos com
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 5
Integrando, obtemos