Questão 5:

Suponha que temos um material que inicialmente tem 50 mg e, após 2 horas, perde-se 10% da massa inicial. Determine:
(a) Uma expressão para a massa restante em um instante t.
(b) Qual é o tempo necessário para que a massa fique reduzida à metade?

Passo 1

O enunciado trata de decaimento exponencial: temos massa inicial M_{0}=50 mg e, após 2 h, sobra 90\% dessa massa. Vamos modelar a massa M(t) no tempo t por
M(t)=M_{0}e^{-kt},
onde k>0 é a constante de decaimento. Precisamos achar k usando a informação de 10% de perda em 2 h e depois:
  1. escrever M(t) explicitamente;
  2. achar t tal que M(t)=M_{0}/2.

Passo 2

Aplicamos a condição em t=2 h, quando
M(2)=M_{0}e^{-2k}=0{,}9\,M_{0}.
Cancelando M_{0} e isolando k,
e^{-2k}=0{,}9 \quad\Longrightarrow\quad -2k=\ln(0{,}9) \quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{2}\ln(0{,}9).

Passo 3

Substituindo k na expressão geral, obtemos
M(t)=50\,e^{-\bigl(-\tfrac12\ln(0{,}9)\bigr)\,t} =50\,e^{\tfrac{t}{2}\ln(0{,}9)} =50\,(0{,}9)^{\,t/2}.
Essa é a resposta de (a).

Passo 4

Para achar o tempo de meia‐vida T tal que M(T)=25 mg, usamos
25=50\,(0{,}9)^{\,T/2} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{25}{50}=(0{,}9)^{\,T/2} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12=(0{,}9)^{\,T/2}.
Tomando logaritmo natural,
\ln\bigl(\tfrac12\bigr)=\frac{T}{2}\ln(0{,}9) \quad\Longrightarrow\quad T =\frac{2\ln(1/2)}{\ln(0{,}9)} =2\frac{-\ln(2)}{\ln(0{,}9)} \approx13{,}15\text{ h}.

Resposta

(a) \displaystyle M(t)=50\,(0{,}9)^{\,t/2} mg.
(b) T\approx13{,}15 horas.

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