Calcule as derivadas
y=\cos (x-y)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y = \cos\bigl(x - y\bigr)
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}[y] \;=\;\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x - y)\bigr].
O lado esquerdo é simplesmente \dfrac{dy}{dx}. No direito, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

A derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u), e depois multiplicamos por u'=\dfrac{d}{dx}(x-y). Logo
\frac{dy}{dx} = -\sin\bigl(x - y\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x - y\bigr).
Mas
\frac{d}{dx}(x - y) = 1 - \frac{dy}{dx}.
Substituindo de volta:

Passo 4

\frac{dy}{dx} = -\sin\bigl(x - y\bigr)\,\bigl(1 - \tfrac{dy}{dx}\bigr).
Distribuindo:
\frac{dy}{dx} = -\sin(x-y) + \sin(x-y)\,\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} - \sin(x-y)\,\frac{dy}{dx} = -\sin(x-y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}\bigl[1 - \sin(x-y)\bigr] = -\sin(x-y).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin\bigl(x - y\bigr)}{1 - \sin\bigl(x - y\bigr)}.

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