Sejam dadas
a, a1, a2, ldots, an, ldots : progressão geométrica de razão q>0
b, b1, b2, ldots, bn, ldots : progressão aritmética com diferença r>0.
Encontre a base beta de um sistema de logarítmos onde se tem
log beta an-bn=log beta a-b, forall n in N

Passo 1

O enunciado diz que temos uma progressão geométrica de razão q>0 e uma progressão aritmética de diferença r>0, cujos termos gerais são an e bn respectivamente. Precisamos achar a base beta tal que logbetaan - bn = logbetaa - b para todo n.

Passo 2

O termo geral de uma PG com primeiro termo a e razão q é dado por an = a,q^n-1. O termo geral de uma PA com primeiro termo b e diferença r é bn = b + (n-1)r. Substituindo essas expressões na condição logbetaan - bn = logbetaa - b, obtemos:
logbetal(a,q^n-1r) - l(b + (n-1)rr) = logbetaa - b
Agora usamos a propriedade do logaritmo logbeta(XY)=logbetaX+logbetaY e logbeta(X^k)=klogbetaX:
logbetaa + (n-1)logbetaq - b - (n-1)r = logbetaa - b
Cancelando logbetaa - b dos dois lados, sobra
(n-1)l(logbetaq - rr) = 0
Como isso deve valer para todo n, precisamos de logbetaq - r = 0, ou seja, logbetaq = r. Convertendo o logaritmo em potência, temos beta^r = q, de onde segue beta = q^1/r.

Resposta

beta = q^1/r

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