Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\frac{\operatorname{sen}^{4} 2 x}{\cos ^{3} 3 x}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada. A função é
f(x)=\frac{\operatorname{sen}^{4}2x}{\cos^{3}3x}.
Informações relevantes:
  • Queremos f'(x), a derivada de f em relação a x.
  • A função é uma razão de duas funções envolvendo potências e funções trigonométricas: numerador \operatorname{sen}^{4}2x e denominador \cos^{3}3x.
    Nada mais será assumido aqui — vamos começar a resolver passo a passo.

Passo 2

Escolha do método: é mais simples reescrever a razão como um produto com potência negativa e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia. Escrevo
f(x)=\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{4}\cdot\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-3}.
Motivo: assim usamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv' e, para cada fator, aplicamos a regra da potência composta (regra da cadeia). Isso evita ficar mexendo com a fórmula do quociente diretamente e costuma ser menos propenso a erro.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação curta e intuitiva):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
( u v )' = u' v + u v'.
Significa que derivamos uma mantendo a outra e somamos com a derivada da outra mantendo a primeira.
  • Regra da potência composta (regra da cadeia para potências): se h(x) = (g(x))^{n} com n constante, então
h'(x) = n\,(g(x))^{\,n-1}\cdot g'(x).
Aqui g'(x) é a derivada da “parte interna” g(x).
  • Derivadas das funções trigonométricas compostas:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(kx)\bigr)=k\cos(kx),\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(kx)\bigr)=-k\sin(kx),
onde k é constante. Isso é apenas aplicação da regra da cadeia: derivada da função trigonométrica vezes a derivada de kx (que é k).

Passo 4

Defino os fatores para aplicar a regra do produto:
u(x)=\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{4},\qquad v(x)=\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-3}.
Agora vamos achar u'(x) e v'(x) separadamente, explicando cada etapa.

Passo 5

Derivando u(x)=\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{4} passo a passo usando a regra da potência composta:
  • Pela regra da potência composta, primeiro multiplico por 4 e reduzo o expoente em 1:
u'(x)=4\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr).
  • Agora derivo \operatorname{sen}(2x) usando \frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx) com k=2:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)=2\cos(2x).
  • Substituindo:
u'(x)=4\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{3}\cdot 2\cos(2x)=8\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{3}\cos(2x).

Passo 6

Agora v(x)=\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-3}. Aplicando a mesma ideia (potência composta):
  • Primeiro pela regra da potência:
v'(x)=-3\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-4}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)\bigr).
  • Derivada de \cos(3x) é -3\sin(3x) (pois \frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx)):
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)\bigr)=-3\sin(3x).
  • Substituindo:
v'(x)=-3\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-4}\cdot\bigl(-3\sin(3x)\bigr)=9\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-4}\sin(3x).

Passo 7

Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv', substituindo u,u',v,v':
  • Primeiro termo u'v:
u'(x)v(x)=\bigl(8\operatorname{sen}^3(2x)\cos(2x)\bigr)\cdot\bigl(\cos(3x)\bigr)^{-3} =\frac{8\operatorname{sen}^{3}(2x)\cos(2x)}{\cos^{3}(3x)}.
  • Segundo termo u v':
u(x)v'(x)=\bigl(\operatorname{sen}^{4}(2x)\bigr)\cdot\bigl(9\cos^{-4}(3x)\sin(3x)\bigr) =\frac{9\operatorname{sen}^{4}(2x)\sin(3x)}{\cos^{4}(3x)}.
  • Somando os dois:
f'(x)=\frac{8\operatorname{sen}^{3}(2x)\cos(2x)}{\cos^{3}(3x)}+\frac{9\operatorname{sen}^{4}(2x)\sin(3x)}{\cos^{4}(3x)}.

Passo 8

Podemos deixar a resposta um pouco mais compacta fatorando o que for comum. Um fator comum é \dfrac{\operatorname{sen}^{3}(2x)}{\cos^{4}(3x)}. Fatorando:
f'(x)=\frac{\operatorname{sen}^{3}(2x)}{\cos^{4}(3x)}\Bigl(8\cos(2x)\cos(3x)+9\operatorname{sen}(2x)\sin(3x)\Bigr).
Ambas as formas (a soma de frações ou a forma fatorada) são corretas; a fatorada é útil para ver fatores comuns ou simplificações posteriores.

Resposta

f'(x)=\frac{8\operatorname{sen}^{3}(2x)\cos(2x)}{\cos^{3}(3x)}+\frac{9\operatorname{sen}^{4}(2x)\sin(3x)}{\cos^{4}(3x)}
\text{ou}\qquad f'(x)=\frac{\operatorname{sen}^{3}(2x)}{\cos^{4}(3x)}\Bigl(8\cos(2x)\cos(3x)+9\operatorname{sen}(2x)\sin(3x)\Bigr)

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