Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a derivada. A função é
Informações relevantes:
- Queremos
, a derivada de em relação a . - A função é uma razão de duas funções envolvendo potências e funções trigonométricas: numerador
e denominador .
Nada mais será assumido aqui — vamos começar a resolver passo a passo.
Passo 2
Escolha do método: é mais simples reescrever a razão como um produto com potência negativa e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia. Escrevo
Motivo: assim usamos a regra do produto
e, para cada fator, aplicamos a regra da potência composta (regra da cadeia). Isso evita ficar mexendo com a fórmula do quociente diretamente e costuma ser menos propenso a erro.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação curta e intuitiva):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Significa que derivamos uma mantendo a outra e somamos com a derivada da outra mantendo a primeira.
- Regra da potência composta (regra da cadeia para potências): se
com constante, então
Aqui
é a derivada da “parte interna”
.
- Derivadas das funções trigonométricas compostas:
onde
é constante. Isso é apenas aplicação da regra da cadeia: derivada da função trigonométrica vezes a derivada de
(que é
).
Passo 4
Defino os fatores para aplicar a regra do produto:
Agora vamos achar
e
separadamente, explicando cada etapa.
Passo 5
Derivando
passo a passo usando a regra da potência composta:
- Pela regra da potência composta, primeiro multiplico por
e reduzo o expoente em 1:
- Agora derivo
usando com :
- Substituindo:
Passo 6
Agora
. Aplicando a mesma ideia (potência composta):
- Primeiro pela regra da potência:
- Derivada de
é (pois ):
- Substituindo:
Passo 7
Aplicando a regra do produto
, substituindo
:
- Primeiro termo
:
- Segundo termo
:
- Somando os dois:
Passo 8
Podemos deixar a resposta um pouco mais compacta fatorando o que for comum. Um fator comum é
. Fatorando:
Ambas as formas (a soma de frações ou a forma fatorada) são corretas; a fatorada é útil para ver fatores comuns ou simplificações posteriores.