Sabendo-se que, se h(x)=\ln g(x), então
h^{\prime}(x)=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)},

Passo 1

O enunciado dá a função h definida por
h(x)=\ln g(x)
e pede a derivada h^{\prime}(x). As informações relevantes que temos (implicadas no enunciado) são:
\text{(i)}\quad g \text{ é diferenciável em } x,éá
\text{(ii)}\quad g(x)>0 \text{ (pois } \ln g(x) \text{ está sendo usado no domínio real).}áí
O objetivo é mostrar que
h^{\prime}(x)=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}.

Passo 2

Vou lembrar primeiro de uma regra básica: a derivada da função logaritmo natural. Para a função
f(t)=\ln t\quad\text{com }t>0,
temos
f'(t)=\frac{1}{t}.
Explicando por quê (de forma simples): se y=\ln t então e^{y}=t. Diferenciando ambos os lados em relação a t (usando derivada da exponencial e regra da cadeia para a função inversa) obtemos
e^{y}\frac{dy}{dt}=1.
Mas e^{y}=t, então \frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}. Ou seja, a taxa de variação do log é 1/t. É importante memorizar: a derivada de \ln t é \dfrac{1}{t} para t>0.

Passo 3

Agora preciso da regra da cadeia (essa é a ferramenta que permite derivar uma composição). A regra da cadeia diz o seguinte: se você tem uma função composta
F(x)=f(u(x)),
onde u é diferenciável em x e f é diferenciável em u(x), então
F'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
Intuição curta: a variação de F quando x muda é a variação de f quando u muda multiplicada pela variação de u quando x muda. Formalmente isso vem do limite que define derivada, mas aqui a fórmula é o que precisamos aplicar.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: h(x)=\ln(g(x)) é a composição f(u(x)) com f(t)=\ln t e u(x)=g(x). Usando o que vimos:
f'(t)=\frac{1}{t}\quad\text{e}\quad u'(x)=g'(x).
Pela regra da cadeia:
h'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x).
Portanto
h'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Lembre-se das hipóteses: isso vale somente quando g é diferenciável em x e g(x)>0.

Passo 5

Como alternativa (às vezes mais direto e didático), dá para provar o mesmo resultado por diferenciação implícita. Escrevemos
y=h(x)=\ln g(x).
Então exponentiando ambos os lados:
e^{y}=g(x).
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
e^{y}\frac{dy}{dx}=g'(x).
Mas e^{y}=g(x), portanto
g(x)\frac{dy}{dx}=g'(x)\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Isso dá exatamente a mesma fórmula e às vezes é mais fácil de memorizar.

Passo 6

Exemplos práticos para fixar (mostrando passo a passo):
  1. Se g(x)=x^{2} (com x>0 para manter \ln g real), então g'(x)=2x. Pela fórmula
h'(x)=\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}.
Podemos conferir: \ln g(x)=\ln(x^{2})=2\ln x e a derivada de 2\ln x é 2\cdot(1/x)=2/x. bate certinho.
2) Se g(x)=3x+1 (e 3x+1>0), então g'(x)=3 e
h'(x)=\frac{3}{3x+1}.

Passo 7

Cuidados e observações para a prova:
  • É obrigatório que g(x)>0 no ponto em que você quer derivar, porque o logaritmo real exige argumento positivo.
  • Se a questão usar \ln|g(x)| (logaritmo do valor absoluto), a fórmula geral passa a ser válida para g(x)\neq0:
\frac{d}{dx}\ln|g(x)|=\frac{g'(x)}{g(x)}\quad\text{para }g(x)\neq0.
Isso porque \ln|g(x)| trata os dois sinais de g.
  • Sempre verifique diferenciabilidade de g no ponto e positividade de g(x) antes de aplicar a fórmula na prova.

Resposta

h^{\prime}(x)=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}

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