Sabendo-se que, se
, então
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede a derivada
. As informações relevantes que temos (implicadas no enunciado) são:
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Vou lembrar primeiro de uma regra básica: a derivada da função logaritmo natural. Para a função
temos
Explicando por quê (de forma simples): se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando derivada da exponencial e regra da cadeia para a função inversa) obtemos
Mas
, então
. Ou seja, a taxa de variação do log é
. É importante memorizar: a derivada de
é
para
.
Passo 3
Agora preciso da regra da cadeia (essa é a ferramenta que permite derivar uma composição). A regra da cadeia diz o seguinte: se você tem uma função composta
onde
é diferenciável em
e
é diferenciável em
, então
Intuição curta: a variação de
quando
muda é a variação de
quando
muda multiplicada pela variação de
quando
muda. Formalmente isso vem do limite que define derivada, mas aqui a fórmula é o que precisamos aplicar.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso:
é a composição
com
e
. Usando o que vimos:
Pela regra da cadeia:
Portanto
Lembre-se das hipóteses: isso vale somente quando
é diferenciável em
e
.
Passo 5
Como alternativa (às vezes mais direto e didático), dá para provar o mesmo resultado por diferenciação implícita. Escrevemos
Então exponentiando ambos os lados:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Mas
, portanto
Isso dá exatamente a mesma fórmula e às vezes é mais fácil de memorizar.
Passo 6
Exemplos práticos para fixar (mostrando passo a passo):
- Se
(com para manter real), então . Pela fórmula
Podemos conferir:
e a derivada de
é
. bate certinho.
2) Se (e
), então
e
2) Se
Passo 7
Cuidados e observações para a prova:
- É obrigatório que
no ponto em que você quer derivar, porque o logaritmo real exige argumento positivo. - Se a questão usar
(logaritmo do valor absoluto), a fórmula geral passa a ser válida para :
Isso porque
trata os dois sinais de
.
- Sempre verifique diferenciabilidade de
no ponto e positividade de antes de aplicar a fórmula na prova.