Sabendo-se que, se
, então
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado: a função
definida por , onde é uma função diferenciável em . - Pedido: mostrar (ou justificar) que
Ou seja, calcular a derivada de
em termos de
e
.
Passo 2
Vamos começar pela definição de derivada (definição com incrementos). A derivada de
em
é
Substituindo
obtemos
Passo 3
Fatoramos
fora da diferença — isto é sempre válido porque
não depende de
:
Como
é constante em relação ao limite, podemos colocá‑lo fora do limite:
Passo 4
Definimos a variação de
por
Então a razão dentro do limite pode ser escrita multiplicando e dividindo por
(isso é uma técnica clássica):
Portanto
Passo 5
Agora analisamos cada fator do limite (produto de dois fatores). Como
é diferenciável em
, quando
temos
e
por definição da derivada de
. Por sua vez, é uma propriedade da exponencial que
(uma justificativa rápida: usar a expansão em série
, dividir por
e observar que os termos além de 1 tendem a 0 quando
). Assim
Passo 6
Como o limite do produto é o produto dos limites (pois ambos existem), juntando os resultados obtemos
Substituindo de volta em
dá
Passo 7
Interpretação e intuição prática:
é uma composição da exponencial com
. A exponencial tem a propriedade de que sua taxa de variação local é igual ao próprio valor; quando a variável interna muda segundo
, a taxa final é a taxa da exponencial avaliada em
vezes a velocidade com que
muda, isto é
. Na prova escrita da prova você pode usar este cálculo com incrementos ou simplesmente citar a regra da cadeia e a derivada de
.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar: se
então
e
Isso ilustra como aplicar a fórmula na prática.