Sabendo-se que, se h(x)=e^{g(x)}, então
h^{\prime}(x)=e^{g(x)} \cdot g^{\prime}(x)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: a função h definida por h(x)=e^{g(x)}, onde g é uma função diferenciável em x.
  • Pedido: mostrar (ou justificar) que
h^{\prime}(x)=e^{g(x)}\cdot g^{\prime}(x).
Ou seja, calcular a derivada de h(x) em termos de g(x) e g'(x).

Passo 2

Vamos começar pela definição de derivada (definição com incrementos). A derivada de h em x é
h'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.
Substituindo h(x)=e^{g(x)} obtemos
h'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^{g(x+\Delta x)}-e^{g(x)}}{\Delta x}.

Passo 3

Fatoramos e^{g(x)} fora da diferença — isto é sempre válido porque e^{g(x)} não depende de \Delta x:
h'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} e^{g(x)}\cdot\frac{e^{g(x+\Delta x)-g(x)}-1}{\Delta x}.
Como e^{g(x)} é constante em relação ao limite, podemos colocá‑lo fora do limite:
h'(x)=e^{g(x)}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^{g(x+\Delta x)-g(x)}-1}{\Delta x}.

Passo 4

Definimos a variação de g por
\Delta g := g(x+\Delta x)-g(x).
Então a razão dentro do limite pode ser escrita multiplicando e dividindo por \Delta g (isso é uma técnica clássica):
\frac{e^{\Delta g}-1}{\Delta x}=\frac{e^{\Delta g}-1}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x}.
Portanto
h'(x)=e^{g(x)}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{e^{\Delta g}-1}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x}\right).

Passo 5

Agora analisamos cada fator do limite (produto de dois fatores). Como g é diferenciável em x, quando \Delta x\to 0 temos \Delta g\to 0 e
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta g}{\Delta x}=g'(x)
por definição da derivada de g. Por sua vez, é uma propriedade da exponencial que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
(uma justificativa rápida: usar a expansão em série e^{u}=1+u+\tfrac{u^{2}}{2!}+\cdots, dividir por u e observar que os termos além de 1 tendem a 0 quando u\to 0). Assim
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^{\Delta g}-1}{\Delta g}=1.

Passo 6

Como o limite do produto é o produto dos limites (pois ambos existem), juntando os resultados obtemos
\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{e^{\Delta g}-1}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x}\right)=1\cdot g'(x)=g'(x).
Substituindo de volta em h'(x)
h'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).

Passo 7

Interpretação e intuição prática: h(x)=e^{g(x)} é uma composição da exponencial com g. A exponencial tem a propriedade de que sua taxa de variação local é igual ao próprio valor; quando a variável interna muda segundo g(x), a taxa final é a taxa da exponencial avaliada em g(x) vezes a velocidade com que g muda, isto é g'(x). Na prova escrita da prova você pode usar este cálculo com incrementos ou simplesmente citar a regra da cadeia e a derivada de e^{u}.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar: se g(x)=2x^{2} então g'(x)=4x e
\frac{d}{dx}e^{2x^{2}}=e^{2x^{2}}\cdot 4x.
Isso ilustra como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

h^{\prime}(x)=e^{g(x)}\cdot g^{\prime}(x)

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