Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=4 \operatorname{sen}^{3} 2 x+\operatorname{tg}^{3} 3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=4\operatorname{sen}^{3}2x+\operatorname{tg}^{3}3x.
Informações importantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\quad f(x)=4\big(\operatorname{sen}(2x)\big)^{3}+\big(\operatorname{tg}(3x)\big)^{3},
ou seja, cada termo é uma potência de uma função trigonométrica composta por uma função linear em x.
O objetivo é encontrar f'(x).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Regra da potência composta (uma forma do “chain rule”): se h(x)=\big(g(x)\big)^{n} com n constante, então
h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n-1}\cdot g'(x).
Aqui n é o expoente e g(x) é a função interior cuja derivada é g'(x). Essa regra diz: derivamos a potência (trazendo o expoente na frente) e multiplicamos pela derivada da parte interior.
  • Derivada de sen e tg (no caso de argumento kx, com k constante):
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(kx)\big)=k\operatorname{cos}(kx),
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}(kx)\big)=k\operatorname{sec}^{2}(kx),
onde \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\operatorname{cos}(x)}. Essas fórmulas vêm da regra da cadeia aplicada às funções seno e tangente.
Exemplo curto para fixar: se y=(2x+1)^3, usando a regra da potência composta,
y'=3(2x+1)^2\cdot(2)=6(2x+1)^2.
Mesmo padrão será aplicado aqui, só que com g(x)=\operatorname{sen}(2x) ou g(x)=\operatorname{tg}(3x).

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo 4\operatorname{sen}^{3}2x.
Defina u(x)=\operatorname{sen}(2x). Então o termo é 4\big(u(x)\big)^{3}.
Aplicando a regra da potência composta:
\frac{d}{dx}\big(4u^{3}\big)=4\cdot 3u^{2}\cdot u'(x)=12u^{2}\cdot u'(x).
Agora calcule u'(x). Como u(x)=\operatorname{sen}(2x), pela fórmula acima,
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=2\operatorname{cos}(2x).
Substituindo u(x)=\operatorname{sen}(2x) e u'(x) na expressão:
\frac{d}{dx}\big(4\operatorname{sen}^{3}2x\big)=12\big(\operatorname{sen}(2x)\big)^{2}\cdot 2\operatorname{cos}(2x).
Multiplicando os fatores numéricos:
\frac{d}{dx}\big(4\operatorname{sen}^{3}2x\big)=24\big(\operatorname{sen}(2x)\big)^{2}\operatorname{cos}(2x).

Passo 4

Agora derivamos o segundo termo \operatorname{tg}^{3}3x.
Defina v(x)=\operatorname{tg}(3x). O termo é \big(v(x)\big)^{3}.
Pela regra da potência composta:
\frac{d}{dx}\big(v^{3}\big)=3v^{2}\cdot v'(x).
Calcule v'(x). Como v(x)=\operatorname{tg}(3x),
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}(3x)\big)=3\operatorname{sec}^{2}(3x).
Substituindo:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}^{3}3x\big)=3\big(\operatorname{tg}(3x)\big)^{2}\cdot 3\operatorname{sec}^{2}(3x).
Multiplicando os fatores numéricos:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}^{3}3x\big)=9\big(\operatorname{tg}(3x)\big)^{2}\operatorname{sec}^{2}(3x).
Observação: \operatorname{sec}^{2}(3x)=\dfrac{1}{\operatorname{cos}^{2}(3x)}. Se quiser escrever tudo em termos de sen e cos, pode-se usar \operatorname{tg}^{2}(3x)\operatorname{sec}^{2}(3x)=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{\operatorname{cos}^{4}(3x)}, mas a forma com \operatorname{tg} e \operatorname{sec} é mais compacta.

Passo 5

Somando as derivações dos dois termos (a derivada da soma é a soma das derivadas), temos:
f'(x)=24\big(\operatorname{sen}(2x)\big)^{2}\operatorname{cos}(2x)+9\big(\operatorname{tg}(3x)\big)^{2}\operatorname{sec}^{2}(3x).
Essa é a forma final e correta para f'(x). Se preferir uma forma alternativa (trocando \operatorname{sec} por \operatorname{cos}), a segunda parcela pode ser escrita como
9\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{\operatorname{cos}^{4}(3x)}.

Resposta

f'(x)=24\big(\operatorname{sen}(2x)\big)^{2}\operatorname{cos}(2x)+9\big(\operatorname{tg}(3x)\big)^{2}\operatorname{sec}^{2}(3x).

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