Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes que o enunciado dá:
ou seja, cada termo é uma potência de uma função trigonométrica composta por uma função linear em
.
O objetivo é encontrar .
O objetivo é encontrar
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Regra da potência composta (uma forma do “chain rule”): se
com constante, então
Aqui
é o expoente e
é a função interior cuja derivada é
. Essa regra diz: derivamos a potência (trazendo o expoente na frente) e multiplicamos pela derivada da parte interior.
- Derivada de sen e tg (no caso de argumento
, com constante):
onde
. Essas fórmulas vêm da regra da cadeia aplicada às funções seno e tangente.
Exemplo curto para fixar: se
, usando a regra da potência composta,
Mesmo padrão será aplicado aqui, só que com
ou
.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo
.
Defina
. Então o termo é
.
Aplicando a regra da potência composta:
Agora calcule
. Como
, pela fórmula acima,
Substituindo
e
na expressão:
Multiplicando os fatores numéricos:
Passo 4
Agora derivamos o segundo termo
.
Defina
. O termo é
.
Pela regra da potência composta:
Calcule
. Como
,
Substituindo:
Multiplicando os fatores numéricos:
Observação:
. Se quiser escrever tudo em termos de sen e cos, pode-se usar
, mas a forma com
e
é mais compacta.
Passo 5
Somando as derivações dos dois termos (a derivada da soma é a soma das derivadas), temos:
Essa é a forma final e correta para
. Se preferir uma forma alternativa (trocando
por
), a segunda parcela pode ser escrita como