Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
a) f_{1}(x)=\left(x^{3}+2 x\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de f_{1}.
Informação dada: a função é f_{1}(x)=\left(x^{3}+2x\right)^{2}.
Então precisamos encontrar f_{1}'(x), ou seja, a taxa de variação de f_{1} em relação a x.

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar (explicada com calma): quando temos uma função composta do tipo f(x)=g(h(x)), a derivada é dada pela chamada regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O que isso significa: primeiro diferencio a função externa g em relação ao seu argumento (chamado aqui de u=h(x)), avaliando essa derivada em u=h(x); depois multiplico pelo derivado da função interna h(x). É como “desmontar” a composição em duas partes, derivar cada uma e multiplicar.
Exemplo simples para fixar: se temos \big(2x+1\big)^{2}, podemos ver isso como g(u)=u^{2} com u=2x+1. Então g'(u)=2u e u'(x)=2, logo a derivada é 2(2x+1)\cdot 2 = 4(2x+1). Viu como funciona na prática?

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à nossa função: identifique as partes externa e interna.
  • Função externa: g(u)=u^{2}.
  • Função interna: u(x)=x^{3}+2x.
Agora calcule as derivadas dessas partes:
  • Derivada da externa em função de u: g'(u)=2u.
  • Derivada da interna em função de x: para u(x)=x^{3}+2x temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(2x\big)=3x^{2}+2.
(usei a regra do poder: \tfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, e a derivada de ax é a.)

Passo 4

Agora aplique a regra da cadeia:
f_{1}'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=2\big(u(x)\big)\cdot\big(3x^{2}+2\big).
Substituindo u(x)=x^{3}+2x obtemos a forma fatorada
f_{1}'(x)=2\big(x^{3}+2x\big)\big(3x^{2}+2\big).

Passo 5

Se você preferir a forma expandida (um polinômio), faça a multiplicação passo a passo. Primeiro calcule \big(x^{3}+2x\big)\big(3x^{2}+2\big):
  • x^{3}\cdot 3x^{2}=3x^{5}
  • x^{3}\cdot 2=2x^{3}
  • 2x\cdot 3x^{2}=6x^{3}
  • 2x\cdot 2=4x
Somando os termos semelhantes:
\big(x^{3}+2x\big)\big(3x^{2}+2\big)=3x^{5}+(2x^{3}+6x^{3})+4x=3x^{5}+8x^{3}+4x.
Agora multiplique por 2:
f_{1}'(x)=2\big(3x^{5}+8x^{3}+4x\big)=6x^{5}+16x^{3}+8x.

Resposta

\;f_{1}'(x)=6x^{5}+16x^{3}+8x

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