Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
a)
a)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
.
Informação dada: a função é
Então precisamos encontrar
, ou seja, a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar (explicada com calma): quando temos uma função composta do tipo
, a derivada é dada pela chamada regra da cadeia:
O que isso significa: primeiro diferencio a função externa
em relação ao seu argumento (chamado aqui de
), avaliando essa derivada em
; depois multiplico pelo derivado da função interna
. É como “desmontar” a composição em duas partes, derivar cada uma e multiplicar.
Exemplo simples para fixar: se temos
, podemos ver isso como
com
. Então
e
, logo a derivada é
. Viu como funciona na prática?
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à nossa função: identifique as partes externa e interna.
- Função externa:
. - Função interna:
.
Agora calcule as derivadas dessas partes:
- Derivada da externa em função de
: . - Derivada da interna em função de
: para temos
(usei a regra do poder:
, e a derivada de
é
.)
Passo 4
Agora aplique a regra da cadeia:
Substituindo
obtemos a forma fatorada
Passo 5
Se você preferir a forma expandida (um polinômio), faça a multiplicação passo a passo. Primeiro calcule
:
Somando os termos semelhantes:
Agora multiplique por
: