Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x)=(1-sen x)^x^3-1

Passo 1

O enunciado é pedir a derivada de f(x) = (1 – sen x){x3 – 1}. O conteúdo aqui é derivar uma função na forma a(x)^{b(x)}, ou seja, base e expoente variáveis. Para resolver isso, vamos usar diferenciação logarítmica e a regra da cadeia.

Passo 2

Começamos definindo g(x) = ln f(x). Assim temos:
g(x) = lnl((1 - sin x)^x^3 - 1r) = (x^3 - 1),ln(1 - sin x)
Esse passo é útil pois transforma potência em produto, facilitando a derivação.

Passo 3

Agora derivamos g(x) usando a regra do produto e a regra da cadeia. Temos duas partes: u(x)=x^3-1 e v(x)=ln(1-\sin x).
Calculamos
u'(x)=3x^2,
v'(x)=ddxln(1-sin x)=11-sin xcdot(-cos x)=-cos x1-sin x
Logo,
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x^2ln(1-sin x)-(x^3-1)cos x1-sin x

Passo 4

Como g(x)=ln f(x), a relação entre f’ e g’ é f’(x)=f(x),g’(x). Substituindo f e g’ obtemos
f'(x)=(1-sin x)^x^3-1l(3x^2ln(1-sin x)-(x^3-1)cos x1-sin xr)

Passo 5

Esse é o resultado final da derivada de f(x).

Resposta

f’(x)=(1-\sin x){x3-1}\Bigl(3x^2\ln(1-\sin x)-(x^3-1)\frac{\cos x}{1-\sin x}\Bigr)

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