Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado é pedir a derivada de f(x) = (1 – sen x){x3 – 1}. O conteúdo aqui é derivar uma função na forma a(x)^{b(x)}, ou seja, base e expoente variáveis. Para resolver isso, vamos usar diferenciação logarítmica e a regra da cadeia.
Passo 2
Começamos definindo g(x) = ln f(x). Assim temos:
Esse passo é útil pois transforma potência em produto, facilitando a derivação.
Passo 3
Agora derivamos g(x) usando a regra do produto e a regra da cadeia. Temos duas partes: u(x)=x^3-1 e v(x)=ln(1-\sin x).
Calculamos
Calculamos
Logo,
Passo 4
Como g(x)=ln f(x), a relação entre f’ e g’ é f’(x)=f(x),g’(x). Substituindo f e g’ obtemos
Passo 5
Esse é o resultado final da derivada de f(x).
Resposta
f’(x)=(1-\sin x){x3-1}\Bigl(3x^2\ln(1-\sin x)-(x^3-1)\frac{\cos x}{1-\sin x}\Bigr)