Determine o erro máximo no ponto x=pi do polinônimo de segunda ordem, em torno de x=pi / 2, quando aproximando as seguintes funções:
(a) e^x / pi

Passo 1

O enunciado pede o erro máximo no ponto x=pi ao aproximar f(x)=e^x/pi por um polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em x0=pi/2. Vamos usar o resto de Lagrange (a teoria de expansões de Taylor e estimativa de erros).

Passo 2

O resto de ordem 2 (usando a fórmula de Lagrange) é dado por
R2(x)=f^(3)(xi)3!,(x-x0)^3
para algum xi entre x0 e x.

Passo 3

Calculamos as derivadas até a terceira de f(x)=e^x/pi:
f'(x)=1pie^x/pi, f''(x)=1pi^2e^x/pi, f^(3)(x)=1pi^3e^x/pi

Passo 4

Substituindo no resto em x=pi e x0=pi/2:
R2(pi)=f^(3)(xi)6,l(pi-pi2r)^3 =16,e^xi/pipi^3,l(pi2r)^3 =e^xi/pi48

Passo 5

Para estimar o erro máximo, notamos que e^xi/pi é crescente em xi. Como xi varia em [pi/2,pi], o maior valor ocorre em xi=pi, dando o erro máximo
max|R2(pi)|=e^pi/pi48=e48

Resposta

O erro máximo no ponto x=pi é e/48.

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