Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x)= (x³+√x)·cosec x. O conteúdo envolvido é a regra do produto (para u·v), a regra da potência (para x³ e √x) e a derivada da cosecante (cosec x). Vamos usar tudo isso passo a passo.

Passo 2

Identifico as funções: u(x)= x³+√x e v(x)= cosec x. As ferramentas que vamos precisar são: a regra do produto que diz
(u·v)'=u'·v+u·v',
a regra da potência para x³ (u=xⁿ ⇒ u’=n·xⁿ⁻¹) e para √x=x^{1/2} (dessa forma u’=(1/2)x^{-1/2}), e a derivada da cosecante
ddxl(csc xr)=-csc xcot x

Passo 3

Calculo u’(x):
u(x)=x³+√x ³
Então
u'(x)=3x²+12x^-1/2=3x²+12√x ²²

Passo 4

Calculo v’(x):
v(x)=csc x
Logo
v'(x)=-csc xcot x

Passo 5

Aplico a regra do produto reunindo u’, v, u e v’:
f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)
Substituindo cada parte,
f'(x)=l(3x²+12√xr)csc x+(x³+√x)l(-csc xcot xr) ²³
Podemos organizar fatorando csc x:
f'(x)=csc x(3x²+12√x-(x³+√x)cot x) ²³

Resposta

f’(x)=\left(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\csc x-\bigl(x^{3}+\sqrt{x}\bigr)\csc x\cot x

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