Calcule
usando as regras de derivação.
Passo 1
A questão pede a derivada de f(x)= (x³+√x)·cosec x. O conteúdo envolvido é a regra do produto (para u·v), a regra da potência (para x³ e √x) e a derivada da cosecante (cosec x). Vamos usar tudo isso passo a passo.
Passo 2
Identifico as funções: u(x)= x³+√x e v(x)= cosec x. As ferramentas que vamos precisar são: a regra do produto que diz
a regra da potência para x³ (u=xⁿ ⇒ u’=n·xⁿ⁻¹) e para √x=x^{1/2} (dessa forma u’=(1/2)x^{-1/2}), e a derivada da cosecante
Passo 3
Calculo u’(x):
Então
Passo 4
Calculo v’(x):
Logo
Passo 5
Aplico a regra do produto reunindo u’, v, u e v’:
Substituindo cada parte,
Podemos organizar fatorando
:
Resposta
f’(x)=\left(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\csc x-\bigl(x^{3}+\sqrt{x}\bigr)\csc x\cot x