Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(i) f(x)=\frac{(x+1)^{3}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{(x+1)^{3}}{x^{2}+1}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, apoiada na regra do poder (para derivar (x+1)^3) e na derivada de polinômios.

Passo 2

Vamos identificar numerador e denominador:
g(x)=(x+1)^{3}, \quad h(x)=x^{2}+1.
Pela regra do poder e da cadeia,
g'(x)=3(x+1)^{2},
e pela derivada de x^2,
h'(x)=2x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{h(x)\,g'(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}} =\frac{(x^{2}+1)\cdot3(x+1)^{2} \;-\;(x+1)^{3}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Agora fatoramos (x+1)^{2} no numerador:
(x^{2}+1)\,3(x+1)^{2}-2x\,(x+1)^{3} =(x+1)^{2}\Bigl[3(x^{2}+1)-2x(x+1)\Bigr].
Dentro do colchete,
3(x^{2}+1)-2x(x+1) =3x^{2}+3-2x^{2}-2x =x^{2}-2x+3.
Logo,
f'(x) =\frac{(x+1)^{2}\,(x^{2}-2x+3)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{(x+1)^{2}\,(x^{2}-2x+3)}{(x^{2}+1)^{2}}.

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