Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(j) f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}}{x+1}}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia combinada com a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\Bigl(g(x)\Bigr)^{\tfrac12},
onde
g(x)=\frac{x^2}{x+1}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.

Passo 3

Calculamos g'(x) usando a regra do quociente:
g'(x) =\frac{(2x)(x+1)-x^2\cdot1}{(x+1)^2} =\frac{2x^2+2x - x^2}{(x+1)^2} =\frac{x^2+2x}{(x+1)^2} =\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}}{2\sqrt{\dfrac{x^2}{x+1}}} =\frac{x(x+2)}{2\,(x+1)^2\,\sqrt{\dfrac{x^2}{x+1}}}.

Passo 5

Se quisermos, podemos notar que
\sqrt{\frac{x^2}{x+1}} =\frac{|x|}{\sqrt{x+1}},
mas mantemos a forma geral em termos de g(x).

Resposta

f'(x)=\frac{x(x+2)}{2\,(x+1)^2\,\sqrt{\frac{x^2}{x+1}}}.

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