Dê um exemplo em cada caso.
(g) Uma função f que é contínua em todo seu domínio, mas não é derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado pede uma função f que seja contínua em todo o seu domínio, mas que não seja derivável em x=1. Para isso, basta escolher uma função simples cujo gráfico seja contínuo, mas apresente um “canto” (cuspide) em x=1.

Passo 2

Considere a função
f(x)=|x-1|.
O domínio de f é \mathbb{R} e cada ramo é uma reta, o que facilita a análise de continuidade e derivabilidade.

Passo 3

Verificamos a continuidade em x=1:
O valor de f em 1 é
f(1)=|1-1|=0.
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(1-x)=0
e pela direita é
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x-1)=0.
Como ambos os limites coincidem com f(1), f é contínua em x=1 (e claramente contínua em todo \mathbb{R}).

Passo 4

Para checar derivabilidade em x=1, calculamos as derivadas laterais:
Para x<1, f(x)=1-x e
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{(1-(1+h))-0}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.
Para x>1, f(x)=x-1 e
f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h-1)-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1.
Como f'_{-}(1)\neq f'_{+}(1), não existe derivada em x=1.

Resposta

Um exemplo é
f(x)=|x-1|,
que é contínua em \mathbb{R} mas não é derivável em x=1.

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