Dê um exemplo em cada caso.
(g) Uma função
que é contínua em todo seu domínio, mas não é derivável em
.
(g) Uma função
Passo 1
O enunciado pede uma função
que seja contínua em todo o seu domínio, mas que não seja derivável em
. Para isso, basta escolher uma função simples cujo gráfico seja contínuo, mas apresente um “canto” (cuspide) em
.
Passo 2
Considere a função
O domínio de
é
e cada ramo é uma reta, o que facilita a análise de continuidade e derivabilidade.
Passo 3
Verificamos a continuidade em
:
O valor de em
é
O valor de
O limite pela esquerda é
e pela direita é
Como ambos os limites coincidem com
,
é contínua em
(e claramente contínua em todo
).
Passo 4
Para checar derivabilidade em
, calculamos as derivadas laterais:
Para ,
e
Para
Para
,
e
Como
, não existe derivada em
.
Resposta
Um exemplo é
que é contínua em
mas não é derivável em
.