Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x + 1}{x - 1} $. Nosso conteúdo envolve cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, identifique as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador. Aqui, o numerador é $ u(x) = x + 1 $ e o denominador é $ v(x) = x - 1 $.
Passo 3
A regra do quociente diz que a derivada de $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Calculando $ u’(x) $:
E calculando $ v’(x) $:
Passo 5
Agora, aplique a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Passo 7
Portanto, a derivada fica:
Passo 8
Vamos para o segundo exercício! Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{\cos(x^{2})}{x} $. Aqui, vamos usar novamente a regra do quociente e a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções.
Passo 9
Identificamos o numerador e o denominador:
Passo 10
Encontramos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $. Para $ u(x) = \cos(x^{2}) $, usamos a regra da cadeia:
E para $ v(x) = x $:
Passo 11
Aplicamos a regra do quociente:
Passo 12
Simplificamos o numerador:
Então:
Passo 13
Podemos dividir cada termo por $ x^{2} $:
Passo 14
Vamos resolver o terceiro exercício! Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x \cdot \operatorname{sen}(x) $. Aqui, utilizaremos a regra do produto, que é utilizada quando temos uma função multiplicando outra.
Passo 15
Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Passo 16
Calculamos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Passo 17
A regra do produto nos diz que:
Passo 18
Portanto, a derivada é:
Passo 19
Agora, vamos para o quarto exercício! Precisamos derivar a função $ f(x) = e{x{2} - 1} $. Para isso, usaremos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta.
Passo 20
Identificamos a função interna e a externa:
Passo 21
A derivada de $ h(g) $ em relação a $ g $ é:
E a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 22
Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 23
Vamos para o quinto exercício! Devemos calcular a derivada de $ f(x) = \sqrt{x \tan^{2}(x)} $. Primeiro, vamos simplificar a expressão e depois aplicar as regras de derivação necessárias.
Passo 24
Simplificamos a função:
Isso porque $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, e $ \sqrt{\tan^{2}(x)} = \tan(x) $ (assumindo $ \tan(x) \geq 0 $).
Passo 25
Agora, temos $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \tan(x) $. Vamos usar a regra do produto para derivar.
Passo 26
Identificamos as funções:
Passo 27
Calculamos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Passo 28
Aplicamos a regra do produto:
Passo 29
Simplificamos a expressão:
Passo 30
Vamos resolver o sexto exercício! Precisamos derivar $ f(x) = \ln(e^{x} + 1) $. Aqui, usaremos a regra da cadeia, já que temos o logaritmo de uma função composta.
Passo 31
Identificamos a função externa e a função interna:
Passo 32
A derivada de $ h(g) $ em relação a $ g $ é:
E a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 33
Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 34
O sétimo exercício é igual ao sexto: $ f(x) = \ln(e^{x} + 1) $. Portanto, a derivada será a mesma que calculamos anteriormente.
Passo 35
Agora, vamos para o oitavo exercício! Precisamos derivar $ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $. Usaremos a regra da cadeia e propriedades de derivadas de funções logarítmicas e de raízes.
Passo 36
Identificamos a função externa e a função interna:
Passo 37
Primeiro, derivamos $ h(g) $:
Agora, derivamos $ g(x) $:
Passo 38
Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 39
Simplificamos a expressão:
Note que $ x + \sqrt{x^{2} + 1} $ não se simplifica facilmente, então podemos deixar a derivada nessa forma.
Passo 40
Finalmente, chegamos ao nono exercício! Precisamos derivar $ f(x) = x^{2} e^{\arctan(x)} $. Aqui, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 41
Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Passo 42
Calculamos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Para $ v(x) = e^{\arctan(x)} $, usamos a regra da cadeia:
Passo 43
Aplicamos a regra do produto:
Passo 44
Simplificamos a segunda parte:
Então:
Passo 45
Podemos fatorar $ e^{\arctan(x)} $:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = x^{2} e^{\arctan(x)} $ é: