Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
(1) f(x)=x+1x-1
(2) f(x)=cos (x^2)x
(3) f(x)=x sen(x)
(4) f(x)=e^x^2-1
(5) f(x)=raizx tan ^2(x)
(6) f(x)=ln (e^x+1)
(7) f(x)=ln (e^x+1)
(8) f(x)=ln (x+raizx^2+1)
(9) f(x)=x^2 e^arctan (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x + 1}{x - 1} $. Nosso conteúdo envolve cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador. Aqui, o numerador é $ u(x) = x + 1 $ e o denominador é $ v(x) = x - 1 $.

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é dada por:
f(x) = u(x)v(x)
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Calculando $ u’(x) $:
u'(x)
E calculando $ v’(x) $:
u(x) = x + 1 Rightarrow u'(x) = 1

Passo 5

Agora, aplique a regra do quociente:
f'(x) = (1)(x - 1) - (x + 1)(1)(x - 1)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(1)(x - 1) - (x + 1)(1) = x - 1 - x - 1 = -2

Passo 7

Portanto, a derivada fica:
f'(x) = -2(x - 1)^2

Passo 8

Vamos para o segundo exercício! Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{\cos(x^{2})}{x} $. Aqui, vamos usar novamente a regra do quociente e a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções.

Passo 9

Identificamos o numerador e o denominador:
u(x) = cos(x^2) e v(x) = x

Passo 10

Encontramos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $. Para $ u(x) = \cos(x^{2}) $, usamos a regra da cadeia:
u(x)
E para $ v(x) = x $:
v(x)

Passo 11

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2 = (-2x sin(x^2)) cdot x - cos(x^2) cdot 1x^2

Passo 12

Simplificamos o numerador:
-2x^2 sin(x^2) - cos(x^2)
Então:
f'(x) = -2x^2 sin(x^2) - cos(x^2)x^2

Passo 13

Podemos dividir cada termo por $ x^{2} $:
x^2

Passo 14

Vamos resolver o terceiro exercício! Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x \cdot \operatorname{sen}(x) $. Aqui, utilizaremos a regra do produto, que é utilizada quando temos uma função multiplicando outra.

Passo 15

Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
u(x) = x e v(x) = sen(x)

Passo 16

Calculamos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)

Passo 17

A regra do produto nos diz que:
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = (1)(sen(x)) + (x)(cos(x))

Passo 18

Portanto, a derivada é:
f'(x) = sen(x) + x cos(x)

Passo 19

Agora, vamos para o quarto exercício! Precisamos derivar a função $ f(x) = e{x{2} - 1} $. Para isso, usaremos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta.

Passo 20

Identificamos a função interna e a externa:
g(x) = x^2 - 1 e h(g) = e^g

Passo 21

A derivada de $ h(g) $ em relação a $ g $ é:
h(g)
E a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $ é:
g

Passo 22

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x) = e^x^2 - 1 cdot 2x = 2x e^x^2 - 1

Passo 23

Vamos para o quinto exercício! Devemos calcular a derivada de $ f(x) = \sqrt{x \tan^{2}(x)} $. Primeiro, vamos simplificar a expressão e depois aplicar as regras de derivação necessárias.

Passo 24

Simplificamos a função:
f(x) = raizx tan^2(x) = raizx cdot tan(x)
Isso porque $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, e $ \sqrt{\tan^{2}(x)} = \tan(x) $ (assumindo $ \tan(x) \geq 0 $).

Passo 25

Agora, temos $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \tan(x) $. Vamos usar a regra do produto para derivar.

Passo 26

Identificamos as funções:
u(x) = raizx = x^1/2 e v(x) = tan(x)

Passo 27

Calculamos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)

Passo 28

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 12raizx cdot tan(x) + raizx cdot sec^2(x)

Passo 29

Simplificamos a expressão:
f'(x) = tan(x)2raizx + raizx sec^2(x)

Passo 30

Vamos resolver o sexto exercício! Precisamos derivar $ f(x) = \ln(e^{x} + 1) $. Aqui, usaremos a regra da cadeia, já que temos o logaritmo de uma função composta.

Passo 31

Identificamos a função externa e a função interna:
g(x) = e^x + 1 e h(g) = ln(g)

Passo 32

A derivada de $ h(g) $ em relação a $ g $ é:
h(g)
E a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $ é:
g

Passo 33

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x) = 1e^x + 1 cdot e^x = e^xe^x + 1

Passo 34

O sétimo exercício é igual ao sexto: $ f(x) = \ln(e^{x} + 1) $. Portanto, a derivada será a mesma que calculamos anteriormente.

Passo 35

Agora, vamos para o oitavo exercício! Precisamos derivar $ f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) $. Usaremos a regra da cadeia e propriedades de derivadas de funções logarítmicas e de raízes.

Passo 36

Identificamos a função externa e a função interna:
g(x) = x + raizx^2 + 1 e h(g) = ln(g)

Passo 37

Primeiro, derivamos $ h(g) $:
h(g)
Agora, derivamos $ g(x) $:
h'(g) = 1g
g(x)

Passo 38

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x) = 1x + raizx^2 + 1 (1 + xraizx^2 + 1)

Passo 39

Simplificamos a expressão:
f'(x) = raizx^2 + 1 + x(x + raizx^2 + 1) raizx^2 + 1 = raizx^2 + 1 + x(x + raizx^2 + 1) raizx^2 + 1
Note que $ x + \sqrt{x^{2} + 1} $ não se simplifica facilmente, então podemos deixar a derivada nessa forma.

Passo 40

Finalmente, chegamos ao nono exercício! Precisamos derivar $ f(x) = x^{2} e^{\arctan(x)} $. Aqui, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 41

Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
u(x) = x^2 e v(x) = e^arctan(x)

Passo 42

Calculamos as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)
Para $ v(x) = e^{\arctan(x)} $, usamos a regra da cadeia:
v(x)

Passo 43

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2x e^arctan(x) + x^2 cdot e^arctan(x) cdot 11 + x^2

Passo 44

Simplificamos a segunda parte:
x^2 cdot 11 + x^2 = x^21 + x^2
Então:
f'(x) = 2x e^arctan(x) + x^21 + x^2 e^arctan(x)

Passo 45

Podemos fatorar $ e^{\arctan(x)} $:
e^arctan(x)

Resposta

A derivada da função $ f(x) = x^{2} e^{\arctan(x)} $ é:
f(x) = x^2 e^arctan(x)

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