A velocidade v(t)=x^prime(t) no instante t de um corpo que está se movendo ao longo do eixo x é dada, juntamente com a posição inicial x(0) do corpo. Determine o que se pede:
x^prime(t)=-2(3 t+1)^12 ; x(0)=4
A posição do corpo no instante t=4.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do corpo como x'(t) = -2(3t+1)^1/2 e a posição inicial x(0)=4. Queremos encontrar a posição x(4). O conteúdo principal é integração de derivadas para obter a função posição a partir da velocidade.

Passo 2

Para achar x(t), integramos x'(t). Começamos por escrever a integral da velocidade:
x(t) = integral -2(3t+1)^1/2,dt + C
Usamos a substituição u = 3t+1, portanto du = 3,dt e dt = du/3. A integral vira:
integral -2u^1/2 du3 = -23integral u^1/2,du = -23 cdot u^3/23/2 = -49u^3/2
Substituindo u=3t+1 de volta,
x(t) = -49(3t+1)^3/2 + C

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial x(0)=4. Em t=0 temos 3cdot0+1=1 e (1)^3/2=1. Logo
x(0) = -49cdot1 + C = 4 implies C = 4 + 49 = 409

Passo 4

Portanto a solução geral é
x(t) = -49(3t+1)^3/2 + 409
Para t=4 temos 3cdot4+1=13 e 13^3/2=13raiz13. Assim
x(4) = -49cdot13raiz13 + 409 = 40 - 52raiz139

Resposta

x(4) = 40 - 52raiz139

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