Calcule a derivada para cada uma das funções abaixo.
y=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}.
O conteúdo principal aqui é o regra do quociente, que diz que, para y = \frac{u(x)}{v(x)},
y' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Também vamos precisar da derivada de e^{x}, que é \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 + e^{x}, \quad v(x) = 1 - e^{x}.
Logo,
u'(x) = e^{x}, \quad v'(x) = -\,e^{x}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
y' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} = \frac{e^{x}\,(1 - e^{x}) - (1 + e^{x})\,(-e^{x})}{\bigl(1 - e^{x}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
e^{x}(1 - e^{x}) + e^{x}(1 + e^{x}) = e^{x} - e^{2x} + e^{x} + e^{2x} = 2\,e^{x}.
Portanto,
y' = \frac{2\,e^{x}}{\bigl(1 - e^{x}\bigr)^{2}}.

Resposta

y' = \frac{2\,e^{x}}{\bigl(1 - e^{x}\bigr)^{2}}.

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