Calcule a derivada para cada uma das funções abaixo.
y=\frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{\ln x}{x}
ou seja, estamos no conteúdo de diferenciação de funções, e vamos usar a regra do produto (ou a regra do quociente) para encontrar y'.

Passo 2

Reescrevemos y como produto para aplicar a regra do produto de forma direta:
y = (\ln x)\cdot x^{-1}.
Chamamos
u(x) = \ln x \quad\text{e}\quad v(x) = x^{-1}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x},
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.

Passo 4

Pela regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v' = \frac{1}{x}\cdot x^{-1} + (\ln x)\cdot(-x^{-2}).
Agora simplificamos:
\frac{1}{x}\cdot x^{-1} = x^{-2}, \quad (\ln x)\cdot(-x^{-2}) = -(\ln x)\,x^{-2},
então
y' = x^{-2} - (\ln x)\,x^{-2} = \bigl(1 - \ln x\bigr)\,x^{-2}.
Voltando a notação de fração:
y' = \frac{1 - \ln x}{x^2}.

Resposta

y' = \frac{1 - \ln x}{x^2}.

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