Calcule a derivada para cada uma das funções abaixo.
y=\frac{e^{x}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \frac{e^{x}}{x^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente, que diz que, para
y = \frac{f(x)}{g(x)},
temos
y' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos
f(x) = e^{x},\quad g(x) = x^{2}+1.
Logo
f'(x) = e^{x},\quad g'(x) = 2x.
Aplicando a regra do quociente:
y' = \frac{e^{x}\,(x^{2}+1) - e^{x}\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{e^{x}\bigl(x^{2}+1 - 2x\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Observando que x^{2} - 2x + 1 = (x-1)^{2}, podemos escrever a forma simplificada:
y' = \frac{e^{x}\,(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

y' = \frac{e^{x}\,(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

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