Use o método de Euler com h=0,11 para determinar um valor aproximado para y(T, 7+3 \times 0,11), onde y(x) é a solução exata do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} x^{2} \frac{d y}{d x}+2 e^{x} y=0 \\\ y(T, T)=-2,8 \end{array}\right.
Resposta: \square

Passo 1

O problema dá a equação diferencial
x^{2}\,\frac{dy}{dx}+2e^{x}y=0
com condição inicial y(7)=-2,8 (ou seja, T=7). Queremos aproximar
y\bigl(7+3\cdot0,11\bigr)=y(7{,}33)
usando o método de Euler com passo h=0,11. O conteúdo é aplicar a fórmula de Euler em três passos a partir de x_{0}=7.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO em forma padrão
\frac{dy}{dx}=f(x,y),
onde
f(x,y)=-\frac{2e^{x}}{x^{2}}\,y.
A regra do método de Euler é
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}), \qquad x_{n+1}=x_{n}+h.

Passo 3

No passo n=0:
x_{0}=7,\quad y_{0}=-2{,}8.
Calculamos
f(x_{0},y_{0}) =-\frac{2e^{7}}{7^{2}}(-2{,}8) =\frac{5,6}{49}\,e^{7}\approx125{,}33.
Logo
y_{1} =y_{0}+0{,}11\cdot125{,}33 =-2{,}8+13{,}7863 \approx10{,}9863,
x_{1}=7+0{,}11=7{,}11.

Passo 4

No passo n=1:
x_{1}=7{,}11,\quad y_{1}\approx10{,}9863.
f(x_{1},y_{1}) =-\frac{2e^{7{,}11}}{(7{,}11)^{2}}\,(10{,}9863) \approx-531{,}68.
y_{2} =y_{1}+0{,}11\cdot(-531{,}68) \approx10{,}9863-58{,}4848 \approx-47{,}4985,
x_{2}=7{,}11+0{,}11=7{,}22.

Passo 5

No passo n=2:
x_{2}=7{,}22,\quad y_{2}\approx-47{,}4985.
f(x_{2},y_{2}) =-\frac{2e^{7{,}22}}{(7{,}22)^{2}}(-47{,}4985) \approx2490{,}49.
y_{3} =y_{2}+0{,}11\cdot2490{,}49 \approx-47{,}4985+273{,}954 \approx226{,}4555,
x_{3}=7{,}22+0{,}11=7{,}33.

Resposta

O valor aproximado pelo método de Euler em x=7{,}33 é
y(7{,}33)\approx226{,}46.

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