Para que valores de k o conjunto B=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\ k\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}k \\\\ 4\end{array}\right]\right\} é uma base de \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores em \mathbb{R}^2:
B = \left\{\begin{pmatrix}1 \\\ k\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}k \\\\ 4\end{pmatrix}\right\}
e pergunta para quais valores de k esse conjunto forma uma base de \mathbb{R}^2. Sabemos que em \mathbb{R}^2 dois vetores formam base se, e somente se, forem linearmente independentes, o que equivale a exigir que o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores seja diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de B:
M = \begin{pmatrix} 1 & k\\\ k & 4 \end{pmatrix}.
O determinante de M é dado por
\det(M) = 1\cdot4 \;-\; k\cdot k = 4 - k^2.

Passo 3

Para que os vetores sejam linearmente independentes precisamos de
\det(M)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4 - k^2 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k^2 \neq 4 \quad\Longleftrightarrow\quad k \neq 2,\;k \neq -2.

Resposta

O conjunto B é base de \mathbb{R}^2 para todos os valores de k tais que
k \neq 2 \quad\text{e}\quad k \neq -2.

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