Calcule a derivada de cada uma das funções:.
f(x)=x^{2}-5 x+1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função dada. A função fornecida é:
f(x)=x^{2}-5x+1.
Portanto a pergunta concreta é: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x. As informações relevantes são apenas os três termos da função: x^{2}, -5x e 1.

Passo 2

Conceito/ideia que vou usar (explicação didática e simples).
A derivada de uma soma é a soma das derivadas dos termos (propriedade da linearidade). Ou seja, para funções g e h,
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
Também existe a regra do coeficiente: se c é uma constante e g uma função,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x).
Por fim, a regra de potência (muito usada em provas): para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável; n é o expoente; \frac{d}{dx} indica "a derivada em relação a x".

Passo 3

Aplicando a linearidade: vou derivar termo a termo.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr).
Expliquei por que posso separar os termos: soma e constante multiplicativa permitem isso (veja regra do passo anterior).

Passo 4

Derivada do primeiro termo \;x^{2}.
Usando a regra de potência com n=2,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x^{2-1}=2x.
Interpretação rápida: a inclinação da parábola x^{2} em qualquer ponto x é 2x.

Passo 5

Derivada do segundo termo \;-5x.
Trata-se de uma constante -5 multiplicando x. A derivada de x é 1, então pela regra do coeficiente:
\frac{d}{dx}\bigl(-5x\bigr)=-5\cdot\frac{d}{dx}(x)=-5\cdot 1=-5.
Intuitivamente: uma reta ax tem derivada a.

Passo 6

Derivada do terceiro termo (constante) \;1.
A derivada de qualquer constante é zero, porque constantes não mudam quando x varia:
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 7

Juntando tudo (somando as derivadas dos termos):
f'(x)=2x-5+0
e simplificando,
f'(x)=2x-5.

Passo 8

Dica rápida para a prova: sempre que vir um polinômio (soma de potências de x com coeficientes), aplique a regra de potência em cada monômio e mantenha os coeficientes. É rápido e evita erros por atalhos manuscritos.

Resposta

f'(x)=2x-5

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