Calcule a derivada de cada uma das funções:.
g(x)=4 x^{4}-\frac{4}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g. A função dada é:
g(x)=4x^{4}-\frac{4}{x^{4}}.
O que precisamos entregar é g'(x), a derivada de g em relação a x. Não há outras informações necessárias.

Passo 2

Primeira coisa útil: reescrever a função deixando potências de x com expoentes (incluindo negativos), pois isso facilita aplicar a regra de potência. Lembrando que \dfrac{1}{x^{4}} = x^{-4}. Portanto:
g(x)=4x^{4}-4x^{-4}.

Passo 3

Vamos rever a regra básica que usaremos (aulas curtinhas, sem pânico):
  • Regra da potência: para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; essa fórmula diz que a derivada de uma potência é o expoente multiplicando a potência com expoente reduzido em 1.
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(x) uma função, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
Ou seja, constantes saem na frente da derivada.
Vamos aplicar essas regras termo a termo na função g(x).

Passo 4

Derivada do primeiro termo 4x^{4}.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{4}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4\cdot(4x^{3})=16x^{3}.
Explicando devagar: \frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3} e multiplicamos por 4.

Passo 5

Derivada do segundo termo -4x^{-4}.
Novamente, fator constante e regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{-4}\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}\bigr)=-4\cdot(-4x^{-5})=16x^{-5}.
Detalhe: \frac{d}{dx}(x^{-4})=-4x^{-5}. O sinal menos do expoente gera o -4, e como já havia o -4 multiplicando, o produto dá +16.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (derivada é linear):
g'(x)=16x^{3}+16x^{-5}.

Passo 7

Se preferir uma forma com fração em vez de potência negativa, transforme x^{-5} em \dfrac{1}{x^{5}}:
g'(x)=16x^{3}+\frac{16}{x^{5}}.
Também é possível fatorar 16:
g'(x)=16\!\left(x^{3}+x^{-5}\right)=16\frac{x^{8}+1}{x^{5}}.
Todas essas formas são equivalentes; fique à vontade para usar a que achar mais bonita na prova.

Resposta

g'(x)=16x^{3}+\frac{16}{x^{5}}

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