Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. A função dada é:
O que precisamos entregar é
, a derivada de
em relação a
. Não há outras informações necessárias.
Passo 2
Primeira coisa útil: reescrever a função deixando potências de
com expoentes (incluindo negativos), pois isso facilita aplicar a regra de potência. Lembrando que
. Portanto:
Passo 3
Vamos rever a regra básica que usaremos (aulas curtinhas, sem pânico):
- Regra da potência: para qualquer expoente real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; essa fórmula diz que a derivada de uma potência é o expoente multiplicando a potência com expoente reduzido em 1.
- Regra do fator constante: se
é constante e uma função, então
Ou seja, constantes saem na frente da derivada.
Vamos aplicar essas regras termo a termo na função
.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência:
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência:
Explicando devagar:
e multiplicamos por
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
Novamente, fator constante e regra da potência:
Novamente, fator constante e regra da potência:
Detalhe:
. O sinal menos do expoente gera o
, e como já havia o
multiplicando, o produto dá
.
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (derivada é linear):
Passo 7
Se preferir uma forma com fração em vez de potência negativa, transforme
em
:
Também é possível fatorar
:
Todas essas formas são equivalentes; fique à vontade para usar a que achar mais bonita na prova.