Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6, x=3

Passo 1

O enunciado fornece a função y=x^{3}-6x^{2}+11x-6 e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=3.
Informações relevantes:
  • Função dada: y=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
  • Abscissa do ponto de tangência: x_0=3.
  • O que se pede: a equação da reta tangente no ponto de abscissa x_0 (ou seja, a reta que toca o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico ali).

Passo 2

Primeiro precisamos obter as coordenadas do ponto de tangência: (x_0,y_0) com x_0=3. Para isso calculamos y_0=y(3) substituindo x=3 na função.
Calculemos:
y(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+11\cdot3-6
Agora avalia passo a passo:
3^{3}=27,\qquad 6\cdot3^{2}=6\cdot9=54,\qquad 11\cdot3=33
Logo
y(3)=27-54+33-6.
Somando em ordem:
27-54=-27,\qquad -27+33=6,\qquad 6-6=0.
Portanto y_0=0 e o ponto de tangência é (3,0).

Passo 3

Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto. Conceito chave: a inclinação da reta tangente a um gráfico num ponto é a derivada da função naquele ponto. Formalmente, se a função é y=f(x) e a derivada em x_0 existe, a reta tangente em (x_0,y_0) tem equação no formato ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0),
onde m=f'(x_0) é a derivada (a inclinação). Aqui x e y são variáveis do eixo, x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto conhecido, e m é um número (a inclinação).
Breve lembrete de como obter f'(x): usa-se regras de derivação. As que precisamos aqui são a linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas) e a regra da potência: para f(x)=x^{n} com n inteiro, f'(x)=n x^{n-1}. Exemplo rápido: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; da constante c é 0; da multiplicação por constante a\cdot g(x) é a\cdot g'(x).

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função y(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6 usando as regras citadas (derivada termo a termo).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-6\cdot 2x=-12x,
\frac{d}{dx}\bigl(11x\bigr)=11,
\frac{d}{dx}\bigl(-6\bigr)=0.
Somando:
y'(x)=3x^{2}-12x+11.

Passo 5

Avalie a derivada em x_0=3 para obter a inclinação m:
m=y'(3)=3\cdot3^{2}-12\cdot3+11.
Calcule passo a passo:
3^{2}=9,\qquad 3\cdot9=27,\qquad 12\cdot3=36,
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y'(3)=27-36+11.
E
27-36=-9,\qquad -9+11=2.
Portanto m=2. A inclinação da reta tangente no ponto (3,0) é 2.

Passo 6

Use a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo x_0=3, y_0=0 e m=2:
y-0=2(x-3).
Simplificando para a forma explícita:
y=2x-6.
Podemos checar rápido: ao substituir x=3 na reta obtemos y=2\cdot3-6=0, que é exatamente y_0, e o coeficiente angular é 2, conforme calculado — tudo consistente.

Resposta

y=2x-6

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