Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
,
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
.
Informações relevantes:
- Função dada:
. - Abscissa do ponto de tangência:
. - O que se pede: a equação da reta tangente no ponto de abscissa
(ou seja, a reta que toca o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação que o gráfico ali).
Passo 2
Primeiro precisamos obter as coordenadas do ponto de tangência:
com
. Para isso calculamos
substituindo
na função.
Calculemos:
Agora avalia passo a passo:
Logo
Somando em ordem:
Portanto
e o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente no ponto. Conceito chave: a inclinação da reta tangente a um gráfico num ponto é a derivada da função naquele ponto. Formalmente, se a função é
e a derivada em
existe, a reta tangente em
tem equação no formato ponto-inclinação:
onde
é a derivada (a inclinação). Aqui
e
são variáveis do eixo,
e
são as coordenadas do ponto conhecido, e
é um número (a inclinação).
Breve lembrete de como obter
: usa-se regras de derivação. As que precisamos aqui são a linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas) e a regra da potência: para
com
inteiro,
. Exemplo rápido: a derivada de
é
; da constante
é
; da multiplicação por constante
é
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função
usando as regras citadas (derivada termo a termo).
Derivando termo a termo:
Somando:
Passo 5
Avalie a derivada em
para obter a inclinação
:
Calcule passo a passo:
logo
E
Portanto
. A inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Use a forma ponto-inclinação da reta tangente:
Substituindo
,
e
:
Simplificando para a forma explícita:
Podemos checar rápido: ao substituir
na reta obtemos
, que é exatamente
, e o coeficiente angular é
, conforme calculado — tudo consistente.