Determine se é Verdadeiro (provando a afirmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
( ) Se f é contínua em a, então \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) existe.

Passo 1

O enunciado diz: “Se f é contínua em a, então \lim_{x\to a^-} f(x) existe.”
Dados que o enunciado fornece:
  • Uma função f e um ponto a.
  • A hipótese: f é contínua em a.
O que se pede:
  • Determinar se a afirmação é verdadeira (provar) ou falsa (dar contraexemplo).
  • Se for verdadeira, apresentar uma prova; se for falsa, apresentar um contraexemplo claro.

Passo 2

Vamos lembrar as definições importantes (devagarinho, passo a passo).
Definição de continuidade em a (forma \varepsilon- \delta):
A função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio de f,
|x-a|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Note que essa definição só faz sentido com os x que pertencem ao domínio de f. Se o domínio não contém pontos à esquerda de a, a condição acima considera apenas os x disponíveis (por exemplo, apenas x\ge a se o domínio for [a,\dots)).
Definição de limite à esquerda:
Dizemos que \lim_{x\to a^-} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio de f,
0<a-x<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Ou seja, consideram-se apenas x<a que se aproximam de a.
Observação importante (a chave do problema):
A noção de "existe \lim_{x\to a^-} f(x)" só é relevante se houver pontos do domínio de f à esquerda de a arbitrariamente próximos de a. Se não houver tais pontos (por exemplo, se o domínio é [a,b]), então a expressão \lim_{x\to a^-} f(x) não tem sentido ou “não existe” porque não há sequência x_n<a com x_n\to a.

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo simples que mostra que a afirmação, tal como está escrita (sem hipóteses adicionais sobre o domínio), é falsa.
Considere a função \displaystyle f(x)=\sqrt{x} com domínio [0,\infty). Tome a=0.
  1. Mostro que f é contínua em a=0.
    Para qualquer \varepsilon>0 escolha \delta=\varepsilon^2. Se x está no domínio e |x-0|<\delta, então 0\le x<\varepsilon^2 e
|f(x)-f(0)|=|\sqrt{x}-0|=\sqrt{x}<\varepsilon.
Portanto f é contínua em 0.
  1. Mas \lim_{x\to 0^-} f(x) não existe (nem está definido), porque não há pontos do domínio com x<0. Não existe sequência (x_n) com x_n<0 e x_n\to 0 tal que se possa falar no valor limite dos f(x_n). Logo a afirmação " \lim_{x\to 0^-} f(x) existe" é falsa para este exemplo.
Isso basta como contraexemplo: f(x)=\sqrt{x} é contínua em 0, mas \lim_{x\to 0^-} f(x) não existe.

Passo 4

(Para aprender e não ficar com dúvida:) quando a afirmação é verdadeira — ou seja, sob que hipótese extra a conclusão passa a ser válida?
Se acrescentarmos a hipótese de que a é um ponto interior do domínio de f (isto é, existe um intervalo aberto (a-\eta,a+\eta) contido no domínio), então a afirmação passa a ser verdadeira. A razão:
  • Continuidade em a implica que \lim_{x\to a} f(x)=f(a). A existência do limite bidirecional implica, necessariamente, a existência dos limites laterais e que ambos são iguais a f(a). Formalmente, usando a definição \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Tomando apenas os x<a com a-x<\delta obtemos exatamente a condição para \lim_{x\to a^-} f(x)=f(a).
Portanto: continuação correta — se f é contínua em a e existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de a pela esquerda (ou seja, a é ponto de acumulação à esquerda do domínio), então \lim_{x\to a^-} f(x) existe e é igual a f(a).

Passo 5

Conclusão final e motivação: sem informação sobre o domínio, a afirmação do enunciado é falsa (contraexemplo fornecido). Com a hipótese adicional de que a é um ponto interior do domínio (ou, pelo menos, que há pontos do domínio à esquerda de a que se aproximam de a), a afirmação torna-se verdadeira e tem prova direta via \varepsilon- \delta.

Resposta

Falso

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