Determine se é Verdadeiro (provando a afirmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
( ) Se f é contínua em a, então
existe.
( ) Se f é contínua em a, então
Passo 1
O enunciado diz: “Se
é contínua em
, então
existe.”
Dados que o enunciado fornece:
Dados que o enunciado fornece:
- Uma função
e um ponto . - A hipótese:
é contínua em .
O que se pede:
- Determinar se a afirmação é verdadeira (provar) ou falsa (dar contraexemplo).
- Se for verdadeira, apresentar uma prova; se for falsa, apresentar um contraexemplo claro.
Passo 2
Vamos lembrar as definições importantes (devagarinho, passo a passo).
Definição de continuidade em
(forma
-
):
A função é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, para todo
no domínio de
,
A função
Note que essa definição só faz sentido com os
que pertencem ao domínio de
. Se o domínio não contém pontos à esquerda de
, a condição acima considera apenas os
disponíveis (por exemplo, apenas
se o domínio for
).
Definição de limite à esquerda:
Dizemos que se, para todo
, existe
tal que, para todo
no domínio de
,
Dizemos que
Ou seja, consideram-se apenas
que se aproximam de
.
Observação importante (a chave do problema):
A noção de "existe " só é relevante se houver pontos do domínio de
à esquerda de
arbitrariamente próximos de
. Se não houver tais pontos (por exemplo, se o domínio é
), então a expressão
não tem sentido ou “não existe” porque não há sequência
com
.
A noção de "existe
Passo 3
Vamos dar um contraexemplo simples que mostra que a afirmação, tal como está escrita (sem hipóteses adicionais sobre o domínio), é falsa.
Considere a função
com domínio
. Tome
.
- Mostro que
é contínua em .
Para qualquerescolha . Se está no domínio e , então e
Portanto
é contínua em
.
- Mas
não existe (nem está definido), porque não há pontos do domínio com . Não existe sequência com e tal que se possa falar no valor limite dos . Logo a afirmação " existe" é falsa para este exemplo.
Isso basta como contraexemplo:
é contínua em
, mas
não existe.
Passo 4
(Para aprender e não ficar com dúvida:) quando a afirmação é verdadeira — ou seja, sob que hipótese extra a conclusão passa a ser válida?
Se acrescentarmos a hipótese de que
é um ponto interior do domínio de
(isto é, existe um intervalo aberto
contido no domínio), então a afirmação passa a ser verdadeira. A razão:
- Continuidade em
implica que . A existência do limite bidirecional implica, necessariamente, a existência dos limites laterais e que ambos são iguais a . Formalmente, usando a definição - : dado existe tal que implica . Tomando apenas os com obtemos exatamente a condição para .
Portanto: continuação correta — se
é contínua em
e existem pontos do domínio arbitrariamente próximos de
pela esquerda (ou seja,
é ponto de acumulação à esquerda do domínio), então
existe e é igual a
.
Passo 5
Conclusão final e motivação: sem informação sobre o domínio, a afirmação do enunciado é falsa (contraexemplo fornecido). Com a hipótese adicional de que
é um ponto interior do domínio (ou, pelo menos, que há pontos do domínio à esquerda de
que se aproximam de
), a afirmação torna-se verdadeira e tem prova direta via
-
.
Resposta
Falso