Calcule a derivada de cada uma das funções por limites:
f(x)=x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada, usando a definição por limites, da função f dada por
f(x)=x^{2}+2.
Ou seja, precisamos encontrar a função derivada f'(x) (o valor da derivada para um x genérico) aplicando a definição limite. As informações que temos são exatamente a expressão de f(x) acima.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de derivada por limites que vamos usar. A derivada de f no ponto x é definida por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • x é o ponto (variável) onde queremos a derivada;
  • h é um incremento pequeno que tende a zero;
  • f(x+h) é o valor da função no ponto deslocado x+h;
  • a fração \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f no intervalo de comprimento h;
  • ao fazer \lim_{h\to0} estamos pegando a taxa instantânea de variação, ou seja, a derivada.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituímos x por x+h na definição de f:
f(x+h)=(x+h)^{2}+2.
Agora usamos a identidade algébrica (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com a=x e b=h. Assim
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
e portanto
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+2.

Passo 4

Formar o quociente diferencia e simplificar:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}+2\bigr)-\bigl(x^{2}+2\bigr)}{h}.
No numerador, x^{2} e +2 aparecem em ambos os termos e se cancelam. Sobram
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{2xh+h^{2}}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}=2x+h,
desde que h\neq 0 (o que é ok, pois no quociente consideramos h diferente de zero antes de tomar o limite).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}(2x+h).
Aqui 2x é constante em relação a h, então pela propriedade do limite de soma:
\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x+\lim_{h\to 0}h=2x+0=2x.

Passo 6

Concluímos que a derivada de f(x) é a função
f'(x)=2x.
Um comentário prático: o termo constante +2 em f(x) desapareceu na derivada — isso sempre acontece: a derivada de uma constante é zero.

Resposta

f'(x)=2x

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