Calcule a derivada de cada uma das funções por limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada, usando a definição por limites, da função
dada por
Ou seja, precisamos encontrar a função derivada
(o valor da derivada para um
genérico) aplicando a definição limite. As informações que temos são exatamente a expressão de
acima.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de derivada por limites que vamos usar. A derivada de
no ponto
é definida por
Aqui:
-
é o ponto (variável) onde queremos a derivada; -
é um incremento pequeno que tende a zero; -
é o valor da função no ponto deslocado ; - a fração
é a taxa média de variação de no intervalo de comprimento ; - ao fazer
estamos pegando a taxa instantânea de variação, ou seja, a derivada.
Passo 3
Calcular
. Substituímos
por
na definição de
:
Agora usamos a identidade algébrica
com
e
. Assim
e portanto
Passo 4
Formar o quociente diferencia e simplificar:
No numerador,
e
aparecem em ambos os termos e se cancelam. Sobram
Fatorando
no numerador:
desde que
(o que é ok, pois no quociente consideramos
diferente de zero antes de tomar o limite).
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Aqui
é constante em relação a
, então pela propriedade do limite de soma:
Passo 6
Concluímos que a derivada de
é a função
Um comentário prático: o termo constante
em
desapareceu na derivada — isso sempre acontece: a derivada de uma constante é zero.