Um sistema LTI com resposta ao impulso dada por
foi sujeito a uma entrada
, determine sua saída
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as duas sequências e pede a saída do sistema:
- A resposta ao impulso é
. - A entrada é
.
A pergunta é: determinar a saídado sistema LTI sujeito a essa entrada.
Passo 2
Lembrando a definição básica para LTI discreto: a saída é a convolução entre
e
. Escrevendo a fórmula de convolução:
Aqui
é a variável de soma (índice de convolução). O passo chave é substituir
e
e analisar para quais valores de
os termos são não nulos, usando as propriedades da função degrau
.
Passo 3
Substituindo
e
na soma:
Posso tirar o fator
fora da soma:
Passo 4
Agora identifico onde os dois degraus são iguais a 1:
-
quando . -
quando , isto é, .
Portanto, para um dadoos termos não nulos são aqueles com satisfazendo
Se
não existe
inteiro que satisfaça isso, logo a soma é nula e
para
. Em resumo, a saída terá fator
. Para
podemos escrever a soma com limites finitos.
Passo 5
Para
(caso não nulo) a soma fica:
Vou manipular essa soma para reconhecê-la como uma série geométrica.
Passo 6
Troco a soma para uma forma de série geométrica. Uma forma conveniente é fatorar
ou reindexar. Primeiro fatoro
:
Agora faço a mudança de índice para ter potências positivas: defina
. Quando
temos
; quando
temos
. Também
. Assim
A soma
é uma série geométrica finita e vale, para
,
Aqui usaremos essa fórmula com
e
.
Passo 7
Aplicando a fórmula geométrica:
Portanto
Voltando para
:
Simplifico o fator
. Então
Passo 8
Faço a álgebra para obter a forma final mais compacta. Primeiro multiplicando dentro do numerador:
E noto que
. Assim
Multiplicando
no numerador:
Logo, para
,
E como já observado, para
a saída é zero, por isso o fator
reaparece multiplicando a expressão.
Passo 9
Observação importante (didática): a dedução acima usou a fórmula da série geométrica que exige
, ou seja
. Se
trata-se de um caso limite que pode ser obtido diretamente da soma original:
ou seja
Mas para
a forma fechada obtida no passo anterior é válida.