Um sistema LTI com resposta ao impulso dada por h[n]=b \cdot(\lambda)^{n} u[n] foi sujeito a uma entrada x[n]=u[n-2], determine sua saída y[n].
Resposta:
y[n]=\frac{b\left(\lambda^{n-1}-1\right)}{(\lambda-1)} u[n-2]

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as duas sequências e pede a saída do sistema:
  • A resposta ao impulso é h[n]=b\cdot(\lambda)^{n}u[n].
  • A entrada é x[n]=u[n-2].
    A pergunta é: determinar a saída y[n] do sistema LTI sujeito a essa entrada.

Passo 2

Lembrando a definição básica para LTI discreto: a saída é a convolução entre x[n] e h[n]. Escrevendo a fórmula de convolução:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Aqui k é a variável de soma (índice de convolução). O passo chave é substituir x[k] e h[n-k] e analisar para quais valores de k os termos são não nulos, usando as propriedades da função degrau u[n].

Passo 3

Substituindo x[k]=u[k-2] e h[n-k]=b\cdot\lambda^{\,n-k}u[n-k] na soma:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} u[k-2]\;b\lambda^{\,n-k}u[n-k].
Posso tirar o fator b fora da soma:
y[n]=b\sum_{k=-\infty}^{\infty} u[k-2]\;\lambda^{\,n-k}u[n-k].

Passo 4

Agora identifico onde os dois degraus são iguais a 1:
  • u[k-2]=1 quando k\ge 2.
  • u[n-k]=1 quando n-k\ge 0, isto é, k\le n.
    Portanto, para um dado n os termos não nulos são aqueles com k satisfazendo
2 \le k \le n.
Se n<2 não existe k inteiro que satisfaça isso, logo a soma é nula e y[n]=0 para n<2. Em resumo, a saída terá fator u[n-2]. Para n\ge 2 podemos escrever a soma com limites finitos.

Passo 5

Para n\ge 2 (caso não nulo) a soma fica:
y[n]=b\sum_{k=2}^{n} \lambda^{\,n-k}.
Vou manipular essa soma para reconhecê-la como uma série geométrica.

Passo 6

Troco a soma para uma forma de série geométrica. Uma forma conveniente é fatorar \lambda^{n} ou reindexar. Primeiro fatoro \lambda^{n}:
y[n]=b\,\lambda^{n}\sum_{k=2}^{n} \lambda^{-k}.
Agora faço a mudança de índice para ter potências positivas: defina m=k-2. Quando k=2 temos m=0; quando k=n temos m=n-2. Também \lambda^{-k}=\lambda^{-2}\lambda^{-m}. Assim
\sum_{k=2}^{n}\lambda^{-k}=\lambda^{-2}\sum_{m=0}^{n-2}\lambda^{-m}.
A soma \sum_{m=0}^{M} r^{m} é uma série geométrica finita e vale, para r\neq 1,
\sum_{m=0}^{M} r^{m}=\frac{1-r^{M+1}}{1-r}.
Aqui usaremos essa fórmula com r=\lambda^{-1} e M=n-2.

Passo 7

Aplicando a fórmula geométrica:
\sum_{m=0}^{n-2}\lambda^{-m}=\frac{1-\lambda^{-(n-1)}}{1-\lambda^{-1}}.
Portanto
\sum_{k=2}^{n}\lambda^{-k}=\lambda^{-2}\cdot\frac{1-\lambda^{-(n-1)}}{1-\lambda^{-1}}.
Voltando para y[n]:
y[n]=b\,\lambda^{n}\cdot\lambda^{-2}\cdot\frac{1-\lambda^{-(n-1)}}{1-\lambda^{-1}}.
Simplifico o fator \lambda^{n}\lambda^{-2}=\lambda^{\,n-2}. Então
y[n]=b\cdot\frac{\lambda^{\,n-2}\big(1-\lambda^{-(n-1)}\big)}{1-\lambda^{-1}}.

Passo 8

Faço a álgebra para obter a forma final mais compacta. Primeiro multiplicando dentro do numerador:
\lambda^{\,n-2}\big(1-\lambda^{-(n-1)}\big)=\lambda^{\,n-2}-\lambda^{-1}.
E noto que 1-\lambda^{-1}=\dfrac{\lambda-1}{\lambda}. Assim
y[n]=b\cdot\frac{\lambda^{\,n-2}-\lambda^{-1}}{1-\lambda^{-1}} = b\cdot\frac{\lambda^{\,n-2}-\lambda^{-1}}{\dfrac{\lambda-1}{\lambda}} = b\cdot\frac{\lambda(\lambda^{\,n-2}-\lambda^{-1})}{\lambda-1}.
Multiplicando \lambda no numerador:
\lambda(\lambda^{\,n-2}-\lambda^{-1})=\lambda^{\,n-1}-1.
Logo, para n\ge 2,
y[n]=\frac{b\big(\lambda^{\,n-1}-1\big)}{\lambda-1}.
E como já observado, para n<2 a saída é zero, por isso o fator u[n-2] reaparece multiplicando a expressão.

Passo 9

Observação importante (didática): a dedução acima usou a fórmula da série geométrica que exige \lambda^{-1}\neq 1, ou seja \lambda\neq 1. Se \lambda=1 trata-se de um caso limite que pode ser obtido diretamente da soma original:
\text{se }\lambda=1,\quad y[n]=b\sum_{k=2}^{n}1=b(n-1)\quad\text{para }n\ge 2,
ou seja
y[n]=b(n-1)u[n-2]\quad\text{quando }\lambda=1.
Mas para \lambda\neq 1 a forma fechada obtida no passo anterior é válida.

Resposta

y[n]=\frac{b\left(\lambda^{n-1}-1\right)}{(\lambda-1)} u[n-2]

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