Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=\beta^{n} u[n]
(a) Determine o sinal de saída y[n] para uma entrada da forma.
x[n]=\alpha^{n}{u[n]-u[n-10]}
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece:
A resposta ao impulso do sistema: h[n]=\beta^{n}u[n].
A entrada: x[n]=\alpha^{n}\bigl(u[n]-u[n-10]\bigr).
O que é pedido:
(a) Determinar o sinal de saída \,y[n]\, (ou seja, a convolução y[n]=x[n]*h[n]).
(b) Dizer se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
Informações úteis extraídas do enunciado:
u[n] é a função step unitário: u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0.
x[n]=\alpha^{n} apenas para 0\le n\le 9 e é zero fora desse intervalo (porque u[n]-u[n-10] é 1 para n=0,1,\dots,9 e zero caso contrário).
h[n]=\beta^{n} apenas para n\ge0 e é zero para n<0.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (definição de convolução discreta para sistemas LTI): para qualquer sistema LTI
Explicando: somamos, para cada atraso k, o valor da entrada em k multiplicado pela resposta ao impulso deslocada em n-k. Aqui tudo é discreto (somatório), e as funções u[n] limitam as somas porque tornam muitos termos zero.
Passo 3
Determinar os suportes (onde os sinais são não nulos):
Como dito, x[k]=\alpha^{k} para k=0,1,\dots,9 e x[k]=0 para k<0 ou k\ge10.
h[n-k]=\beta^{\,n-k}u[n-k], então para um dado n esse fator é zero sempre que n-k<0, i.e. quando k>n.
Portanto, no somatório da convolução apenas contribuem termos com índices k tais que
0\le k\le 9 \quad\text{e}\quad k\le n.
Ou seja, k vai de 0 até \min(9,n). Além disso, se n<0 então não existe k com k\le n e k\ge0, então y[n]=0 para n<0.
Aqui a soma é uma soma geométrica finita com razão r=\dfrac{\alpha}{\beta}. Vou tratar separadamente o caso r\neq1 (i.e. \alpha\neq\beta) e o caso \alpha=\beta.
Passo 5
Caso \alpha\neq\beta (ou seja r\neq1). A soma geométrica finita tem a fórmula
\sum_{k=0}^{m} r^{k}=\frac{1-r^{\,m+1}}{1-r},
onde aqui m=\min(9,n) e r=\dfrac{\alpha}{\beta}. Substituindo na expressão de y[n] obtemos (para n\ge0):
Essas fórmulas são obtidas diretamente do somatório e tratam o caso degenerado \alpha=\beta corretamente.]
Passo 8
Agora vamos avaliar causalidade. Definição: um sistema é causal se a resposta ao impulso h[n]=0 para todo n<0. No enunciado temos h[n]=\beta^{n}u[n], e como u[n]=0 para n<0, segue que h[n]=0 para n<0. Portanto o sistema é causal.
Interpretação intuitiva: o sistema não usa valores futuros da entrada para produzir a saída no tempo presente.
Passo 9
Avaliação de BIBO-estabilidade. Definição prática para sistemas LTI: o sistema é BIBO-estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente somável, isto é
Essa soma é uma série geométrica que converge se e somente se |\beta|<1. Quando |\beta|<1 o valor é \dfrac{1}{1-|\beta|}; se |\beta|\ge1 a soma diverge. Logo:
Se |\beta|<1 então o sistema é BIBO-estável.
Se |\beta|\ge1 então o sistema não é BIBO-estável.
Raciocínio alternativo (intuitivo): para uma entrada limitada por |x[n]|\le B vale a desigualdade |y[n]|\le B\sum_{k}|h[k]|. Se a soma absoluta de h é finita, então y[n] fica limitada.
Passo 10
Força aí — já temos a expressão do sinal de saída em todos os casos e as conclusões sobre causalidade e estabilidade. Se quiser, eu posso reescrever a expressão final de y[n] de forma ainda mais enxuta ou mostrar um exemplo numérico com valores de \alpha e \beta.
Resposta
(a) Para n<0\): \(y[n]=0\).
Para \(\alpha\neq\beta\):
\[\begin{cases} y[n]=\dfrac{\beta^{\,n+1}-\alpha^{\,n+1}}{\beta-\alpha}, & 0\le n\le 9,\\[6pt] y[n]=\beta^{n}\dfrac{1-(\alpha/\beta)^{10}}{1-\alpha/\beta}, & n\ge 9. \end{cases}
(b) O sistema é causal (sim), porque h[n]=\beta^{n}u[n]=0 para n<0.
O sistema é BIBO-estável se, e somente se, |\beta|<1; caso |\beta|\ge1 não é BIBO-estável.]