Calcule a derivada de cada uma das funções a seguir:
f(x)=e^{5 x^{2}-3 x+6}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{5x^{2}-3x+6}.
Aqui vamos usar o conteúdo de derivada de função composta, em particular a regra da cadeia, pois temos uma exponencial cuja base é a constante e e cujo expoente é um polinômio em x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos:
u(x) = 5x^{2}-3x+6
como a função interna, e
g(u)=e^{u}
como a função externa.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x) em relação a x, usando a regra de potência em cada termo do polinômio:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)\;+\;\frac{d}{dx}(6) = 10x - 3 + 0 = 10x - 3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f(x)=g\bigl(u(x)\bigr) é
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).
Como g(u)=e^{u}, temos g'(u)=e^{u}. Logo,
f'(x) = e^{\,u(x)}\,(10x-3) = (10x-3)\,e^{5x^{2}-3x+6}.

Resposta

f'(x) = (10x - 3)\,e^{5x^{2} - 3x + 6}.

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