Utilizando o método de derivação implícita, calcule \frac{d y}{d x} para x^{2}+y^{2}=-25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{dy}{dx} a partir da relação implícita
x^{2}+y^{2}=-25
Usaremos derivação implícita, aplicando derivada em cada termo e lembrando que y é função de x.

Passo 2

Aplicando a derivada em ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}(-25).
Pela regra da soma e da cadeia,
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x
e
\frac{d}{dx}(y^{2})=2y\frac{dy}{dx}.
O lado direito é constante, então \frac{d}{dx}(-25)=0.
Logo,
2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx}:
2y\frac{dy}{dx} = -2x
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

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