Considere a função f(x)=\sin (x). Calcule f^{(49)}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 49 da função \;f(x)=\sin(x). Isso envolve o conteúdo de derivadas sucessivas de funções trigonométricas e a observação do padrão repetitivo que elas formam.

Passo 2

Vamos listar as primeiras quatro derivadas de \sin(x) para enxergar o padrão:
\begin{aligned} f(x) &= \sin(x),\\\ f'(x) &= \cos(x),\\\ f''(x) &= -\sin(x),\\\ f^{(3)}(x) &= -\cos(x),\\\ f^{(4)}(x) &= \sin(x). \end{aligned}
Note que a partir de f^{(4)} o ciclo recomeça, ou seja, as derivadas de ordem múltipla de 4 coincidem com \sin(x).

Passo 3

Como o padrão tem período 4, basta calcular o resto da divisão de 49 por 4:
49 \div 4 = 12\text{ com resto }1.
Isso significa que
f^{(49)}(x) \;=\; f^{(4\cdot12 + 1)}(x) \;=\; f^{(1)}(x).

Resposta

f^{(49)}(x) = \cos(x).

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