Encontre
. (Sugestão: Encontre algumas das primeiras derivadas e observe o padrão.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a 105ª derivada de
. Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas de funções que envolvem exponenciais. Para resolver, vamos calcular algumas das primeiras derivadas para identificar um padrão que nos ajude a generalizar para a 105ª derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então,
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada
derivando
novamente usando a regra do produto:
Passo 4
Vamos calcular mais uma derivada para identificar o padrão. A terceira derivada
é:
Passo 5
Observando as derivadas calculadas:
Podemos notar um padrão onde, a cada derivada, o coeficiente de
alterna o sinal e o número constante aumenta em 1.
Passo 6
Generalizando, a enésima derivada de
é:
Simplificando:
Passo 7
Para
, temos:
Resposta
A 105ª derivada de
é
.