Encontre d^105d x^105(x e^-x). (Sugestão: Encontre algumas das primeiras derivadas e observe o padrão.)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a 105ª derivada de . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas de funções que envolvem exponenciais. Para resolver, vamos calcular algumas das primeiras derivadas para identificar um padrão que nos ajude a generalizar para a 105ª derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de f'(x) = ddx(x) cdot e^-x + x cdot ddx(e^-x) = 1 cdot e^-x + x cdot (-e^-x) = e^-x(1 - x) . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então,

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada f''(x) = ddx(e^-x) cdot (1 - x) + e^-x cdot ddx(1 - x) = (-e^-x)(1 - x) + e^-x(-1) = e^-x(-1 + x - 1) = e^-x(x - 2) derivando novamente usando a regra do produto:

Passo 4

Vamos calcular mais uma derivada para identificar o padrão. A terceira derivada f'''(x) = ddx(e^-x(x - 2)) = ddx(e^-x) cdot (x - 2) + e^-x cdot ddx(x - 2) = (-e^-x)(x - 2) + e^-x(1) = e^-x(-x + 2 + 1) = e^-x(-x + 3) é:

Passo 5

Observando as derivadas calculadas:
f(x) &= x e^-x f'(x) &= e^-x(1 - x) f''(x) &= e^-x(x - 2) f'''(x) &= e^-x(-x + 3)
Podemos notar um padrão onde, a cada derivada, o coeficiente de alterna o sinal e o número constante aumenta em 1.

Passo 6

Generalizando, a enésima derivada de f^(n)(x) = e^-x((-1)^n x + n (-1)^n-1) é:
f^(n)(x) = e^-x((-1)^n x - n (-1)^n) = e^-x [(-1)^n (x - n)]
Simplificando:

Passo 7

Para f^(105)(x) = e^-x [(-1)^105 (x - 105)] = e^-x [ - (x - 105) ] = e^-x (105 - x) , temos:

Resposta

A 105ª derivada de é .

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