Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é soma de duas parcelas: uma é um produto
e a outra é . - Queremos
, a derivada em relação a .
Passo 2
Regra básica que vou usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade). Ou seja,
Aplicando isso a
teremos a derivada da primeira parcela (o produto) mais a derivada de
.
Passo 3
Regra para derivar um produto (produto de duas funções): se
e
são diferenciáveis, então
Intuição rápida: ao variar
a mudança do produto vem da variação de
mantendo
e da variação de
mantendo
.
Passo 4
Identifico, para a parcela produto, as funções
e
:
Agora calculo as derivadas individuais:
- Derivada de
: (Propriedade fundamental: a exponencial tem a mesma derivada.) - Derivada de
: (Derivada da função seno é cosseno.)
Passo 5
Aplico a regra do produto usando os resultados do passo anterior:
Passo 6
Agora derivada da segunda parcela
. Uso a regra da potência multiplicada por constante:
- Regra da potência:
para constante. - Se há uma constante multiplicando,
.
Aplicando come :
Passo 7
Somando as derivadas (pela linearidade do passo 2), obtemos:
Podemos organizar fatorando
se quisermos uma forma mais compacta: