Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=e^{x} \cdot \operatorname{sen} x+4 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{x}\cdot \operatorname{sen} x+4 x^{3}.
Informações dadas:
  • A função é soma de duas parcelas: uma é um produto e^{x}\cdot \operatorname{sen} x e a outra é 4x^{3}.
  • Queremos f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Regra básica que vou usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade). Ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Aplicando isso a f(x) teremos a derivada da primeira parcela (o produto) mais a derivada de 4x^{3}.

Passo 3

Regra para derivar um produto (produto de duas funções): se \,u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Intuição rápida: ao variar x a mudança do produto vem da variação de u mantendo v e da variação de v mantendo u.

Passo 4

Identifico, para a parcela produto, as funções u e v:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\operatorname{sen} x.
Agora calculo as derivadas individuais:
  • Derivada de u(x)=e^{x}: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. (Propriedade fundamental: a exponencial tem a mesma derivada.)
  • Derivada de v(x)=\operatorname{sen} x: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\operatorname{cos} x. (Derivada da função seno é cosseno.)

Passo 5

Aplico a regra do produto usando os resultados do passo anterior:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\cdot \operatorname{sen} x\bigr) = \bigl(e^{x}\bigr)'\operatorname{sen} x + e^{x}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)' = e^{x}\operatorname{sen} x + e^{x}\operatorname{cos} x.

Passo 6

Agora derivada da segunda parcela 4x^{3}. Uso a regra da potência multiplicada por constante:
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{\,n-1} para n constante.
  • Se há uma constante multiplicando, \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot x^{n}\bigr)=c\cdot n x^{\,n-1}.
    Aplicando com c=4 e n=3:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)=4\cdot 3 x^{2}=12 x^{2}.

Passo 7

Somando as derivadas (pela linearidade do passo 2), obtemos:
f'(x)=\bigl(e^{x}\operatorname{sen} x + e^{x}\operatorname{cos} x\bigr)+12 x^{2}.
Podemos organizar fatorando e^{x} se quisermos uma forma mais compacta:
f'(x)=e^{x}\bigl(\operatorname{sen} x+\operatorname{cos} x\bigr)+12 x^{2}.

Resposta

f'(x)=e^{x}\operatorname{sen} x+e^{x}\operatorname{cos} x+12 x^{2}

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