Calcule
em que:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular
(a derivada de
em relação a
). Informações relevantes:
- A função contém os termos
, e . - Observe que
não está definida em e exige . Portanto a função original está definida para . A derivada que formos obter deverá ser válida nesse mesmo domínio.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma clara):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se
com constante, então . - Regra do potência (power rule): para qualquer real
,
onde
é a variável e
é o expoente. Isso vale também para expoentes fracionários e negativos (sempre que a expressão faça sentido no domínio).
Explicação rápida do que as letras significam: em
, o símbolo
significa "derivar em relação a
",
é a variável independente e
é o expoente constante.
Passo 3
Para aplicar a regra do potência com facilidade, reescrevemos os termos usando potências:
Assim podemos escrever
Passo 4
Aplicamos a derivada termo a termo, usando a regra do potência em cada caso.
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
Reescrevendo em forma de fração dá
.
- Para
(aqui ):
Reescrevendo em radical,
.
Passo 5
Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos a derivada de
:
Escrevendo de forma equivalente usando frações e radicais:
Lembrete final: essa expressão para
é válida para
, que é o domínio da função original.