Calcule f^{\prime}(x) em que:
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\sqrt{x}
e pede para calcular f'(x) (a derivada de f em relação a x). Informações relevantes:
  • A função contém os termos x^{2}, \dfrac{1}{x^{2}} e \sqrt{x}.
  • Observe que \dfrac{1}{x^{2}} não está definida em x=0 e \sqrt{x} exige x\ge 0. Portanto a função original está definida para x>0. A derivada que formos obter deverá ser válida nesse mesmo domínio.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do coeficiente constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Se h(x)=c\cdot u(x) com c constante, então h'(x)=c\cdot u'(x).
  • Regra do potência (power rule): para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde x é a variável e n é o expoente. Isso vale também para expoentes fracionários e negativos (sempre que a expressão faça sentido no domínio).
Explicação rápida do que as letras significam: em \dfrac{d}{dx}(x^{n}), o símbolo \dfrac{d}{dx} significa "derivar em relação a x", x é a variável independente e n é o expoente constante.

Passo 3

Para aplicar a regra do potência com facilidade, reescrevemos os termos usando potências:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2},\qquad \sqrt{x}=x^{1/2}.
Assim podemos escrever
f(x)=x^{2}+x^{-2}+x^{1/2}.

Passo 4

Aplicamos a derivada termo a termo, usando a regra do potência em cada caso.
  1. Para x^{2} (aqui n=2):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x^{2-1}=2x.
  1. Para x^{-2} (aqui n=-2):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}.
Reescrevendo em forma de fração dá -2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}.
  1. Para x^{1/2} (aqui n=\tfrac{1}{2}):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Reescrevendo em radical, \frac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos a derivada de f:
f'(x)=2x-2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Escrevendo de forma equivalente usando frações e radicais:
f'(x)=2x-\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Lembrete final: essa expressão para f'(x) é válida para x>0, que é o domínio da função original.

Resposta

f'(x)=2x-\dfrac{2}{x^{3}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

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