Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
u(x)=raize^sen^3 x+cos x^2+3 x^6.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de u(x)=raize^sin^3 x+cos(x^2)+3x^6. O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia), exponencial, seno, cosseno e raiz quadrada. Vamos precisar das regras: (d/dx) raizf(x)= f'(x)/(2raizf(x)), (d/dx) e^g(x)= e^g(x)g'(x), (d/dx) sin^3 x= 3sin^2 xcos x, (d/dx) cos(x^2)= -2xsin(x^2), (d/dx) 3x^6= 18x^5.

Passo 2

Definimos f(x)=e^sin^3 x+cos(x^2). Calculamos f'(x) usando regra da soma:
f'(x)=ddxe^sin^3 x+ddxcos(x^2)

Passo 3

Para a primeira parcela aplicamos a cadeia em e^g(x) com g(x)=sin^3 x:
ddxe^sin^3 x=e^sin^3 xcdotddx(sin^3 x)=e^sin^3 xcdot3sin^2 xcos x

Passo 4

Para a segunda parcela:
ddxcos(x^2)=-sin(x^2)cdot2x

Passo 5

Assim
f'(x)=3e^sin^3 xsin^2 xcos x-2xsin(x^2)

Passo 6

Agora derivamos u1(x)=raizf(x) pela regra da cadeia:
u1'(x)=f'(x)2raizf(x)=3e^sin^3 xsin^2 xcos x-2xsin(x^2)2raize^sin^3 x+cos(x^2)

Passo 7

A derivada de 3x^6 é direta:
ddx(3x^6)=18x^5

Passo 8

Somando as partes obtemos u'(x) somando u1'(x) e 18x^5.

Resposta

u'(x)=3e^sin^3 xsin^2 xcos x-2xsin(x^2)2raize^sin^3 x+cos(x^2)+18x^5

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