Determine por meio da definição se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(a)
(a)
Passo 1
Estamos analisando o conjunto de funções
. O assunto é independência linear em espaços de funções, e vamos usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que gera a função zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Suponha que existam escalares
e
tais que a combinação linear seja a função zero para todo
:
Passo 3
Substituindo
e
, temos
Passo 4
Para que
seja identicamente zero em todo o domínio, é preciso que
Passo 5
Esse é um único equação com duas incógnitas, logo há infinitas soluções não triviais (por exemplo,
). Portanto existe combinação linear não trivial que dá a função zero.
Como encontramos coeficientes não ambos nulos que anulam a combinação, concluímos que as funções não são linearmente independentes, ou seja, são linearmente dependentes.
Como encontramos coeficientes não ambos nulos que anulam a combinação, concluímos que as funções não são linearmente independentes, ou seja, são linearmente dependentes.
Resposta
As funções são linearmente dependentes.