Determine por meio da definição se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(a) f(x), g(x)=x, 2 x

Passo 1

Estamos analisando o conjunto de funções f(x),g(x)=x,2x. O assunto é independência linear em espaços de funções, e vamos usar a definição: o conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que gera a função zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Suponha que existam escalares a e b tais que a combinação linear seja a função zero para todo x:
a,f(x) + b,g(x) = 0, forall x

Passo 3

Substituindo f(x)=x e g(x)=2x, temos
a,x + b,(2x) = (a + 2b),x = 0, forall x

Passo 4

Para que (a+2b)x seja identicamente zero em todo o domínio, é preciso que
a + 2b = 0

Passo 5

Esse é um único equação com duas incógnitas, logo há infinitas soluções não triviais (por exemplo, a=-2, b=1). Portanto existe combinação linear não trivial que dá a função zero.
Como encontramos coeficientes não ambos nulos que anulam a combinação, concluímos que as funções não são linearmente independentes, ou seja, são linearmente dependentes.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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