Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
F(t)=sent cos t i+e^-2 t j+2 t^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a derivada da função vetorial F(t) = sin t cos t , i + e^-2 t , j + 2 t^2 , k. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial em funções vetoriais, que basicamente significa derivar cada componente da função em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de i, que é sin t cos t. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois termos multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Então:
ddt (sin t cos t) = (cos t) cdot cos t + sin t cdot (-sin t) = cos^2 t - sin^2 t

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de j, que é e^-2 t. A derivada dessa é mais direta. Usamos a regra da cadeia para exponenciais:
ddt (e^-2 t) = -2 e^-2 t

Passo 4

Por último, temos a componente na direção de k, que é 2 t^2. A derivada disso é simples, aplicando a regra do poder:
ddt (2 t^2) = 4 t

Resposta

Juntando tudo, a derivada da curva F(t) é:
F'(t) = (cos^2 t - sin^2 t) , i - 2 e^-2 t , j + 4 t , k

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