Problema 10 Dada a hélice circular
com
. Dado um
constante, calcule os valores de
para que a torção seja máxima e mínima.
Passo 1
O enunciado dá a hélice circular
com
e
, e pede os valores de
que tornam a torsão
máxima e mínima.
Conteúdo: geometria diferencial de curvas (cálculo de torsão) e otimização de funções de uma variável.
Conteúdo: geometria diferencial de curvas (cálculo de torsão) e otimização de funções de uma variável.
Passo 2
A torsão de uma curva parametricamente é dada por
Para esta hélice, os cálculos levam ao resultado clássico
Passo 3
Para achar extremos de
, derivamos em relação a
:
A condição de ponto crítico
implica
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Para
, tem-se (função crescente). - Para
, tem-se (função decrescente).
Assimé ponto de máximo local.
Nas fronteiras do domíniotemos
e ,
logo o valor mínimo deé , obtido em (e tende a zero quando ).
Resposta
Máxima torção:
.
Mínima torção: (com
).
Mínima torção: