Problema 10 Dada a hélice circular
r(t)=acos(t) i+asen(t) j+b t k
com a, b >= 0, a^2+b^2 neq 0. Dado um a constante, calcule os valores de b para que a torção seja máxima e mínima.

Passo 1

O enunciado dá a hélice circular
r(t)=acos t,i+asin t,j+b,t,k,
com a,b>=0 e a^2+b^2neq0, e pede os valores de b que tornam a torsão tau máxima e mínima.
Conteúdo: geometria diferencial de curvas (cálculo de torsão) e otimização de funções de uma variável.

Passo 2

A torsão de uma curva parametricamente é dada por
tau=(r'times r'')cdot r'''lvert r'times r''rvert^2
Para esta hélice, os cálculos levam ao resultado clássico
tau(b)=ba^2+b^2

Passo 3

Para achar extremos de tau(b), derivamos em relação a b:
tau'(b) =(a^2+b^2)cdot1 - bcdot2b(a^2+b^2)^2 =a^2-b^2(a^2+b^2)^2
A condição de ponto crítico tau'(b)=0 implica
a^2-b^2=0 Longrightarrow b=a

Passo 4

Analisando o sinal de tau'(b):
  • Para 0<= b<a, tem-se tau'(b)>0 (função crescente).
  • Para b>a, tem-se tau'(b)<0 (função decrescente).
    Assim b=a é ponto de máximo local.
    Nas fronteiras do domínio b>=0 temos
    tau(0)=0 e limbtoinftytau(b)=0,
    logo o valor mínimo de tau é 0, obtido em b=0 (e tende a zero quando btoinfty).

Resposta

Máxima torção: b=a.
Mínima torção: b=0 (com taumin=0).

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