Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
f(x)=x^{2}-2, \quad a=1

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada, por definição, da função f(x)=x^{2}-2 no ponto a=1.
Informações que temos:
  • A função é f(x)=x^{2}-2.
  • O ponto onde queremos a derivada é a=1.
  • O pedido explícito é usar a definição (diferença quociente) para obter f'(1).

Passo 2

Escrever a definição de derivada no ponto a. A derivada de f em a é o limite do quociente incremental:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando cada coisa: h é um pequeno incremento em x. O quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a inclinação da reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)). Tomando o limite h\to0, a secante vira a tangente e esse limite é a inclinação da reta tangente — ou seja, a derivada.

Passo 3

Calcular f(1+h) e f(1) explicitamente.
Primeiro,
f(1+h)=(1+h)^{2}-2.
Desenvolvendo o quadrado:
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2},
portanto
f(1+h)=1+2h+h^{2}-2=h^{2}+2h-1.
Agora f(1):
f(1)=1^{2}-2=1-2=-1.

Passo 4

Montar o quociente \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} e simplificá‑lo:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(h^{2}+2h-1)-(-1)}{h}=\frac{h^{2}+2h}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{h^{2}+2h}{h}=\frac{h(h+2)}{h}.
Como estamos considerando h\neq0 no quociente (o limite é para h\to0, mas a expressão deve valer para h não nulo), podemos cancelar h:
\frac{h(h+2)}{h}=h+2\qquad (h\neq0).

Passo 5

Calcular o limite quando h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(h+2)=0+2=2.
Interpretação rápida: a derivada em x=1 é 2, ou seja, a inclinação da tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}-2 naquele ponto vale 2.
Verificação (opcional): a regra de derivação para x^{2} 2x, então f'(x)=2x e f'(1)=2, que confirma o resultado obtido por definição.

Resposta

2

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