Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada, por definição, da função
no ponto
.
Informações que temos:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
. - O pedido explícito é usar a definição (diferença quociente) para obter
.
Passo 2
Escrever a definição de derivada no ponto
. A derivada de
em
é o limite do quociente incremental:
Explicando cada coisa:
é um pequeno incremento em
. O quociente
é a inclinação da reta secante que liga os pontos
e
. Tomando o limite
, a secante vira a tangente e esse limite é a inclinação da reta tangente — ou seja, a derivada.
Passo 3
Calcular
e
explicitamente.
Primeiro,
Desenvolvendo o quadrado:
portanto
Agora
:
Passo 4
Montar o quociente
e simplificá‑lo:
Fatorando
no numerador:
Como estamos considerando
no quociente (o limite é para
, mas a expressão deve valer para
não nulo), podemos cancelar
:
Passo 5
Calcular o limite quando
:
Interpretação rápida: a derivada em
é
, ou seja, a inclinação da tangente ao gráfico de
naquele ponto vale
.
Verificação (opcional): a regra de derivação para
dá
, então
e
, que confirma o resultado obtido por definição.