Prove
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \cos \theta=2^{m} \cos ^{n}\left(\frac{1}{2} \theta\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{2} n \theta\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade abaixo, onde n é um inteiro não negativo e \theta é um número real:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \cos(k\theta)=2^{n}\cos^{n}\!\left(\frac{1}{2}\theta\right)\cdot\cos\!\left(\frac{1}{2}n\theta\right).
Informações dadas e coisas óbvias do enunciado:
  • A soma é sobre k=0,1,\dots,n.
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial usual.
  • Queremos transformar a soma com \cos(k\theta) numa expressão fechada envolvendo potências de \cos(\theta/2) e \cos(n\theta/2).

Passo 2

Vou usar duas ferramentas fundamentais (explico o que cada uma significa):
  • Fórmula de Euler: para qualquer \theta real vale
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Isto significa que a parte real de e^{i\theta} é \cos\theta. Denotando por \operatorname{Re}(z) a parte real de z, temos
\cos\theta=\operatorname{Re}\!\big(e^{i\theta}\big).
  • Teorema do binómio (binomial theorem): para qualquer número complexo z e inteiro n\ge0 vale
(1+z)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} z^{k}.
Explico: é a expansão clássica que combina coeficientes binomiais com potências de z.

Passo 3

Transformo cada \cos(k\theta) em parte real de um exponencial:
\cos(k\theta)=\operatorname{Re}\!\big(e^{ik\theta}\big).
Logo a soma pedida é a parte real da soma das exponenciais:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos(k\theta) =\operatorname{Re}\!\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{ik\theta}\right).
Isto é válido porque a operação \operatorname{Re}(\cdot) é linear (a soma das partes reais é a parte real da soma).

Passo 4

Aplico o teorema do binómio ao somatório que aparece dentro da parte real, tomando z=e^{i\theta}:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{ik\theta}=(1+e^{i\theta})^{n}.
Portanto
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos(k\theta)=\operatorname{Re}\!\big((1+e^{i\theta})^{n}\big).

Passo 5

Agora simplifico 1+e^{i\theta}. Uso que somas de expoenciais complexas dão cossenos:
1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\big(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\big) =e^{i\theta/2}\cdot 2\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Explicação: factorizei um e^{i\theta/2}; o parêntese é 2\cos(\theta/2) por causa de e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x.

Passo 6

Elevo ao n-ésimo:
(1+e^{i\theta})^{n}=\big(e^{i\theta/2}\cdot 2\cos(\tfrac{\theta}{2})\big)^{n} =e^{i n\theta/2}\cdot \big(2\cos(\tfrac{\theta}{2})\big)^{n}.
Agora tomo a parte real. Como \operatorname{Re}\!\big(e^{i\varphi}\big)=\cos\varphi, obtemos
\operatorname{Re}\!\big((1+e^{i\theta})^{n}\big) =\big(2\cos(\tfrac{\theta}{2})\big)^{n}\cdot \cos\!\left(\frac{n\theta}{2}\right).

Passo 7

Recolhendo tudo:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos(k\theta) =\big(2\cos(\tfrac{\theta}{2})\big)^{n}\cdot \cos\!\left(\frac{n\theta}{2}\right).
Isto é exatamente
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos(k\theta)=2^{n}\cos^{n}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cdot\cos\!\left(\frac{n\theta}{2}\right),
que é a identidade pedida. Pequena nota prática: a mesma ideia funciona trocando \operatorname{Re} por \operatorname{Im} se quisermos somas com \sin(k\theta).

Resposta

\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \cos(k\theta)=2^{n}\cos^{n}\!\left(\frac{1}{2}\theta\right)\cdot\cos\!\left(\frac{1}{2}n\theta\right)

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