Prove
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade abaixo, onde
é um inteiro não negativo e
é um número real:
Informações dadas e coisas óbvias do enunciado:
- A soma é sobre
. -
é o coeficiente binomial usual. - Queremos transformar a soma com
numa expressão fechada envolvendo potências de e .
Passo 2
Vou usar duas ferramentas fundamentais (explico o que cada uma significa):
- Fórmula de Euler: para qualquer
real vale
Isto significa que a parte real de
é
. Denotando por
a parte real de
, temos
- Teorema do binómio (binomial theorem): para qualquer número complexo
e inteiro vale
Explico: é a expansão clássica que combina coeficientes binomiais com potências de
.
Passo 3
Transformo cada
em parte real de um exponencial:
Logo a soma pedida é a parte real da soma das exponenciais:
Isto é válido porque a operação
é linear (a soma das partes reais é a parte real da soma).
Passo 4
Aplico o teorema do binómio ao somatório que aparece dentro da parte real, tomando
:
Portanto
Passo 5
Agora simplifico
. Uso que somas de expoenciais complexas dão cossenos:
Explicação: factorizei um
; o parêntese é
por causa de
.
Passo 6
Elevo ao
-ésimo:
Agora tomo a parte real. Como
, obtemos
Passo 7
Recolhendo tudo:
Isto é exatamente
que é a identidade pedida. Pequena nota prática: a mesma ideia funciona trocando
por
se quisermos somas com
.