Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O ponto
.
O que se pede: calcular a derivada deno ponto , ou seja encontrar .
Passo 2
Vamos usar a definição de derivada no ponto
. A definição é:
Aqui:
-
é um incremento pequeno na variável ; -
é o valor da função em ; -
é a razão de variação média de entre e .
O limite quandodá a taxa de variação instantânea (a derivada) no ponto .
Passo 3
Calcule
e
substituindo
:
Passo 4
Faço as contas:
Agora a diferença quociente:
Passo 5
Simplificando
(válido para
) obtemos:
Como a expressão da razão de variação é constantemente
para qualquer
, o limite quando
é simplesmente
. Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova:
é uma função linear da forma
, cuja derivada é a inclinação
. Aqui
, então
para todo
e, em particular,
. Isso confirma o cálculo pelo limite.