Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
g(t)=3 t+7, \quad a=5

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função g(t)=3t+7.
  • O ponto a=5.
    O que se pede: calcular a derivada de g no ponto a=5, ou seja encontrar g'(5).

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada no ponto a. A definição é:
g'(a)=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}.
Aqui:
  • h é um incremento pequeno na variável t;
  • g(a+h) é o valor da função em t=a+h;
  • \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} é a razão de variação média de g entre a e a+h.
    O limite quando h\to0 dá a taxa de variação instantânea (a derivada) no ponto a.

Passo 3

Calcule g(a+h) e g(a) substituindo a=5:
g(5+h)=3(5+h)+7,
g(5)=3\cdot5+7.

Passo 4

Faço as contas:
g(5+h)=15+3h+7=22+3h,
g(5)=15+7=22.
Agora a diferença quociente:
\frac{g(5+h)-g(5)}{h}=\frac{(22+3h)-22}{h}=\frac{3h}{h}.

Passo 5

Simplificando \dfrac{3h}{h} (válido para h\neq0) obtemos:
\frac{3h}{h}=3.
Como a expressão da razão de variação é constantemente 3 para qualquer h\neq0, o limite quando h\to0 é simplesmente 3. Portanto
g'(5)=\lim_{h\to0}3=3.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: g é uma função linear da forma \,g(t)=mt+b, cuja derivada é a inclinação m. Aqui m=3, então g'(t)=3 para todo t e, em particular, g'(5)=3. Isso confirma o cálculo pelo limite.

Resposta

g'(5)=3

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