Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada, por definição, da função
no ponto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada é
.
Passo 2
Vamos escrever a definição de derivada usada aqui (essa é a “definição, por diferença incrementa”):
Explicando cada símbolo:
é um pequeno incremento na variável
; a expressão dentro do limite é a razão entre a variação de
quando
muda de
para
e o incremento
. Se esse limite existir (é finito e o mesmo vindo pela direita e pela esquerda), dizemos que
é derivável em
e o valor do limite é a derivada
.
Passo 3
Substituímos
Agora precisamos simplificar
. Lembrete rápido sobre valor absoluto: para qualquer
,
Como
suficientemente pequeno (por exemplo qualquer
com
) teremos
. Assim, para todos esses
próximos de zero vale
. (Isto é um passo importante: perto de um ponto positivo a função
coincide com a função linear
.)]
Passo 4
Usando a igualdade
para
pequeno, a razão fica
Como para todos esses
o quociente é exatamente
, ao tomar o limite quando
obtemos
Passo 5
Interpretação didática e generalização curta:
- A razão pela qual deu
é que, em torno de qualquer ponto positivo , se comporta como , e a derivada de é . - Em geral, para
tem-se ; para tem-se . No ponto a derivada não existe porque os limites lateral esquerdo e direito são diferentes (esquerda dá , direita dá ). - Exemplo rápido: se
o mesmo raciocínio dá ; se dá ; se não existe .