Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
g(x)=|x|, \quad a=8

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada, por definição, da função g(x)=|x| no ponto a=8.
Informações dadas:
  • A função é g(x)=|x|.
  • O ponto onde queremos a derivada é a=8.

Passo 2

Vamos escrever a definição de derivada usada aqui (essa é a “definição, por diferença incrementa”):
g'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}.
Explicando cada símbolo: h é um pequeno incremento na variável x; a expressão dentro do limite é a razão entre a variação de g quando x muda de a para a+h e o incremento h. Se esse limite existir (é finito e o mesmo vindo pela direita e pela esquerda), dizemos que g é derivável em a e o valor do limite é a derivada g'(a).

Passo 3

Substituímos a=8\) e a fórmula de \(g\): \[\frac{g(8+h)-g(8)}{h}=\frac{|8+h|-|8|}{h}=\frac{|8+h|-8}{h}.
Agora precisamos simplificar |8+h|. Lembrete rápido sobre valor absoluto: para qualquer x,
|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Como 8>0\], se tomarmos \(h suficientemente pequeno (por exemplo qualquer h com |h|<8) teremos 8+h>0. Assim, para todos esses h\neq 0 próximos de zero vale |8+h|=8+h. (Isto é um passo importante: perto de um ponto positivo a função |x| coincide com a função linear x.)]

Passo 4

Usando a igualdade |8+h|=8+h para h pequeno, a razão fica
\frac{|8+h|-8}{h}=\frac{(8+h)-8}{h}=\frac{h}{h}=1\qquad\text{para }0<|h|<8.
Como para todos esses h o quociente é exatamente 1, ao tomar o limite quando h\to 0 obtemos
g'(8)=\lim_{h\to 0}\frac{|8+h|-8}{h}=1.

Passo 5

Interpretação didática e generalização curta:
  • A razão pela qual deu 1 é que, em torno de qualquer ponto positivo a>0, |x| se comporta como x, e a derivada de x é 1.
  • Em geral, para x>0 tem-se \dfrac{d}{dx}|x|=1; para x<0 tem-se \dfrac{d}{dx}|x|=-1. No ponto x=0 a derivada não existe porque os limites lateral esquerdo e direito são diferentes (esquerda dá -1, direita dá 1).
  • Exemplo rápido: se a=5 o mesmo raciocínio dá g'(5)=1; se a=-3 g'(-3)=-1; se a=0 não existe g'(0).

Resposta

g'(8)=1

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