Essa expressão tem uma diferença de raiz cúbica no numerador; para poder calcular o limite é útil “racionalizar” essa diferença usando uma identidade algébrica para raízes cúbicas (análoga à racionalização com quadrados).
Aqui explico por que precisei da condição B\neq0: se B=0 o denominador iria para 0 e não podemos simplesmente dividir; será necessário checar separadamente a derivabilidade nesses pontos.]
Passo 5
Identificando os zeros de B:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3),
então B=0 para x=2 e x=3. Para essas duas abscissas a expressão obtida para f'(x) daria divisão por zero. Vamos analisar se a derivada existe nesses pontos.
Considere x_{0}=2 (o caso x_{0}=3 é análogo). Perto de x=2 temos
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\sim (x-2)\cdot(-1),
ou seja, a função f(x)=\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{1/3} comporta-se localmente como constante vezes (x-2)^{1/3}. A derivada de t^{1/3} em t=0 não é finita (a derivada formal é \tfrac{1}{3}t^{-2/3}, que diverge quando t\to0). Assim a diferença quociente em x=2 tende a infinito em módulo (o numerador da fórmula limite tende a 2x-5\big|_{x=2}=-1, não nulo, enquanto o denominador tende a 0), logo a derivada em x=2 não existe (há uma tangente vertical, derivada “infinita”). O mesmo raciocínio vale para x=3 (aqui 2x-5\big|_{x=3}=1, também não nulo), então a derivada em x=3 também não existe.
Resumo: a fórmula obtida vale para todos os x tais que x^{2}-5x+6\neq0; nos pontos x=2 e x=3 a derivada não existe.
Passo 6
Agora calculo a derivada usando regras (mais rápido e que chega à mesma expressão). Relembre as regras que uso:
Regra da potência (para expoente r\in\mathbb{R}): se g(u)=u^{r} então g'(u)=r u^{r-1}.
Regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)) então f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso g(u)=u^{1/3} com u(x)=x^{2}-5x+6. Aplicando: