Encontre a função derivada de f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5 x+6} por definição e por regras de derivação.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6} = \bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{1/3}.
Perguntas pedidas:
  • Encontrar a derivada de f por definição (primeiros princípios).
  • Encontrar a derivada de f usando regras de diferenciação (cadeia + potência).
    Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão explícita de f(x) é \bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{1/3}.
  • Deve-se observar possíveis pontos onde a fórmula da derivada pode falhar (quando o denominador ficar zero).

Passo 2

Vou aplicar a definição de derivada (primeiros princípios). Lembre que a definição é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Para a nossa função isso é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\bigl((x+h)^{2}-5(x+h)+6\bigr)^{1/3}-\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{1/3}}{h}.
Essa expressão tem uma diferença de raiz cúbica no numerador; para poder calcular o limite é útil “racionalizar” essa diferença usando uma identidade algébrica para raízes cúbicas (análoga à racionalização com quadrados).

Passo 3

A identidade útil é, para quaisquer A e B,
A-B=\bigl(A^{1/3}-B^{1/3}\bigr)\bigl(A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}\bigr).
Vamos aplicar essa identidade com
A=(x+h)^{2}-5(x+h)+6,\qquad B=x^{2}-5x+6.
Primeiro calcule A-B:
\begin{aligned} A-B &= \bigl((x+h)^{2}-5(x+h)+6\bigr)-\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)\\[4pt] &= (x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+6)-(x^{2}-5x+6)\\[4pt] &= 2xh+h^{2}-5h\\[4pt] &= h(2x+h-5). \end{aligned}
Agora use a identidade para escrever a diferença de cúbicos no numerador como
\bigl((x+h)^{2}-5(x+h)+6\bigr)^{1/3}-\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{1/3} = \frac{A-B}{A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}}.
Substituindo A-B=h(2x+h-5) e voltando ao quociente da definição:
\begin{aligned} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{1}{h}\cdot\frac{A-B}{A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}}\\[4pt] &= \frac{1}{h}\cdot\frac{h(2x+h-5)}{A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}}\\[4pt] &= \frac{2x+h-5}{A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}}. \end{aligned}]

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0. Observando que A\to B quando h\to0, o denominador tende a
B^{2/3}+B^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}=3B^{2/3}.
Portanto, para pontos onde B\neq0 (ou seja, onde x^{2}-5x+6\neq0),
\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\frac{2x+h-5}{A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}}\\[4pt] &= \frac{2x-5}{3\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{2/3}}. \end{aligned}
Aqui explico por que precisei da condição B\neq0: se B=0 o denominador iria para 0 e não podemos simplesmente dividir; será necessário checar separadamente a derivabilidade nesses pontos.]

Passo 5

Identificando os zeros de B:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3),
então B=0 para x=2 e x=3. Para essas duas abscissas a expressão obtida para f'(x) daria divisão por zero. Vamos analisar se a derivada existe nesses pontos.
Considere x_{0}=2 (o caso x_{0}=3 é análogo). Perto de x=2 temos
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\sim (x-2)\cdot(-1),
ou seja, a função f(x)=\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{1/3} comporta-se localmente como constante vezes (x-2)^{1/3}. A derivada de t^{1/3} em t=0 não é finita (a derivada formal é \tfrac{1}{3}t^{-2/3}, que diverge quando t\to0). Assim a diferença quociente em x=2 tende a infinito em módulo (o numerador da fórmula limite tende a 2x-5\big|_{x=2}=-1, não nulo, enquanto o denominador tende a 0), logo a derivada em x=2 não existe (há uma tangente vertical, derivada “infinita”). O mesmo raciocínio vale para x=3 (aqui 2x-5\big|_{x=3}=1, também não nulo), então a derivada em x=3 também não existe.
Resumo: a fórmula obtida vale para todos os x tais que x^{2}-5x+6\neq0; nos pontos x=2 e x=3 a derivada não existe.

Passo 6

Agora calculo a derivada usando regras (mais rápido e que chega à mesma expressão). Relembre as regras que uso:
  • Regra da potência (para expoente r\in\mathbb{R}): se g(u)=u^{r} então g'(u)=r u^{r-1}.
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)) então f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso g(u)=u^{1/3} com u(x)=x^{2}-5x+6. Aplicando:
g'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3},\qquad u'(x)=2x-5.
Portanto, pela cadeia,
f'(x)=\tfrac{1}{3}u(x)^{-2/3}\cdot(2x-5) = \frac{2x-5}{3\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{2/3}}.
Como antes, essa expressão só é válida quando o denominador é finito e não nulo, ou seja, para x\neq2,3. Nos pontos x=2 e x=3 a derivada não existe.

Resposta

f'(x)=\frac{2x-5}{3\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)^{2/3}}\quad\text{para }x\neq2,3
\text{Em }x=2\text{ e }x=3\text{ a derivada não existe.}ã

Exercícios relacionados