Encontre y^{\prime}, onde y é definida implicitamente por x^{3}+x y+y^{3}=2 \sqrt{x^{2}+1}
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
x^{3}+x y+y^{3}=2\sqrt{x^{2}+1}
e pede para encontrar y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) quando y é vista como função de x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação relaciona x e y de forma implícita.
O objetivo é obter \,y'=\dfrac{dy}{dx}\, em termos de x e y.
Não foi dado um ponto específico; portanto a resposta deve ser uma expressão geral para y'.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: derivação implícita.
Quando y é definida implicitamente por uma equação envolvendo x e y, ao derivar em relação a x devemos tratar y como função de x, ou seja, toda vez que derivamos uma expressão que contém y aparece um fator \,y'=\dfrac{dy}{dx}.
Regras de derivação que vamos aplicar (lembrando o que cada símbolo significa):
Derivada de uma potência de x: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Regra da cadeia: se u(x) é função composta, \dfrac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x).
Derivada da raiz quadrada: \dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{g(x)}\bigr)=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se: ao derivar termos que envolvem y, aplicar regra da cadeia e colocar y'.
Termo a termo:
\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
\dfrac{d}{dx}\bigl(xy\bigr): usar regra do produto com u=x e v=y(x). Então\dfrac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=\underbrace{\dfrac{d}{dx}(x)}_{=1}\cdot y + x\cdot \underbrace{\dfrac{d}{dx}(y)}_{=y'} = y + x y'.
\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr): usar regra da cadeia com f(u)=u^{3} e u=y(x). Então\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\cdot y'.
Lado direito: \dfrac{d}{dx}\Bigl(2\sqrt{x^{2}+1}\Bigr). Escrevendo \sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{1/2} e aplicando regra da cadeia:\dfrac{d}{dx}\Bigl(2(x^{2}+1)^{1/2}\Bigr)=2\cdot\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Passo 4
Juntando todas as derivadas obtidas, a diferenciação de ambos os lados dá:
3x^{2} + \bigl(y + x y'\bigr) + 3y^{2}y' = \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Agora vamos organizar os termos que contêm y' de um lado e os que não contêm do outro.
Passo 5
Agrupando os termos com y':
x y' + 3y^{2}y' + 3x^{2} + y = \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Colocando y' em evidência:
\bigl(x + 3y^{2}\bigr)y' + 3x^{2} + y = \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Passo 6
Isolando y':
\bigl(x + 3y^{2}\bigr)y' = \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}} - 3x^{2} - y.
Comentário final (didático e prático): essa é a forma padrão para y' obtida por diferenciação implícita. Se for desejável, pode-se colocar o numerador sobre um denominador comum \sqrt{x^{2}+1}, mas não é necessário a menos que se busque uma forma específica. Em provas costuma-se deixar em termos de x e y como acima.