2.1 Calcule a derivada de f:(-pi2, pi2) R definida por f(x)=arctg x.
(Sugestão: mostre primeiro que dd y tg y=1+tg^2 y.)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=arctan x em l(-tfracpi2,tfracpi2r). Para isso vamos usar dois ingredientes: a derivada da função tan y e a regra da derivada da função inversa.

Passo 2

Para mostrar que
ddytan y = 1+tan^2 y,
note que tan y=sin ycos y. Aplicando a regra do quociente:
ddytan y =cos ycdotcos y-sin ycdot(-sin y)cos^2 y =cos^2 y+sin^2 ycos^2 y =1cos^2 y =sec^2 y
Como sec^2 y=1+tan^2 y, fica demonstrado que
ddytan y=1+tan^2 y

Passo 3

Sabendo que arctan x é a inversa de tan y em l(-tfracpi2,tfracpi2r), a regra da derivada da inversa diz que
ddxl(arctan xr) =1 ddytan yl|y=arctan x =11+tan^2l(arctan xr)

Passo 4

Como tan(arctan x)=x, substituímos e obtemos
f'(x)=11+x^2

Resposta

f'(x)=11+x^2, xinl(-tfracpi2,tfracpi2r)

Exercícios relacionados