2.3 Calcule a derivada das funções f(x)=x|x|, g(x)=x log x, h(x)=x sin x, u(x)=arccos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente calcular a derivada de quatro funções diferentes: f(x) = x|x| , g(x) = x log x , h(x) = x sin x e u(x) = arccos x . A matéria aqui envolve cálculo de derivadas, usando regras como a regra do produto, derivadas de funções compostas e funções básicas como valor absoluto, logaritmo, seno e arco cosseno. Vamos precisar entender como aplicar essas regras para encontrar as derivadas dessas funções.

Passo 2

Vamos começar com f(x) = x|x| . Aqui temos a função f(x) como o produto de x e |x| . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que se temos u(x) cdot v(x) , a derivada é u'(x)v(x) + u(x)v'(x) .
Primeiro, identificamos:
  • u(x) = x u'(x) = 1
  • v(x) = |x| → A derivada de |x| é dfracx|x| para x neq 0 .
Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 cdot |x| + x cdot dfracx|x| = |x| + dfracx^2|x|
Simplificando dfracx^2|x| = |x| , então:
f'(x) = |x| + |x| = 2|x|

Passo 3

Agora, vamos para g(x) = x log x . Aqui também temos o produto de duas funções: x e log x . Vamos usar novamente a regra do produto.
Identificamos:
  • u(x) = x u'(x) = 1
  • v(x) = log x v'(x) = dfrac1x
Aplicando a regra do produto:
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 cdot log x + x cdot dfrac1x = log x + 1

Passo 4

Vamos derivar h(x) = x sin x . Novamente, temos o produto de duas funções: x e sin x . Usamos a regra do produto.
Identificamos:
  • u(x) = x u'(x) = 1
  • v(x) = sin x v'(x) = cos x
Aplicando a regra do produto:
h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 cdot sin x + x cdot cos x = sin x + x cos x

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada de u(x) = arccos x . A função arco cosseno é uma função composta, mas existe uma regra direta para sua derivada.
A derivada de arccos x é:
ddx arccos x = -1raiz1 - x^2

Resposta

As derivadas das funções são:
f'(x) = 2|x|
g'(x) = log x + 1
h'(x) = sin x + x cos x
u'(x) = -1raiz1 - x^2

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