Parte 1
Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
A temperatura em um ponto de uma bola com condutividade
é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera
de raio
e centro no centro da bola.
Sugestão: O fluxo de calor é
, onde
é a temperatura.
Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
A temperatura em um ponto de uma bola com condutividade
Sugestão: O fluxo de calor é
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura
num ponto da bola depende somente da distância
ao centro e é inversamente proporcional a
. Logo
onde
é a constante de proporcionalidade. Queremos a taxa de transmissão de calor através da esfera
. Usaremos a lei do fluxo de calor
e depois integraremos
sobre
.
Passo 2
Como
depende só de
, em coordenadas esféricas
Calculamos
logo
Passo 3
Substituindo em
obtém-se
Na superfície
temos
e o vetor normal externo
, então
Passo 4
Esboço da região de integração: é a superfície esférica de raio
centrada na origem, descrita por
,
,
.
O elemento de área é
O elemento de área é
Assim a taxa total de calor
é
Passo 5
Para escrever em função da temperatura na própria esfera, note que
Assim