Parte 1
Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
A temperatura em um ponto de uma bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro no centro da bola.
Sugestão: O fluxo de calor é F=-K nabla u, onde u é a temperatura.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura u num ponto da bola depende somente da distância r ao centro e é inversamente proporcional a r. Logo
u(r)=cr,
onde c é a constante de proporcionalidade. Queremos a taxa de transmissão de calor através da esfera Scolon r=a. Usaremos a lei do fluxo de calor
vec F=-K,nabla u
e depois integraremos vec Fcdothat n sobre S.

Passo 2

Como u depende só de r, em coordenadas esféricas
nabla u=dudr,hat er
Calculamos
dudr =ddrl(crr) =-cr^2,
logo
nabla u=-cr^2,hat er

Passo 3

Substituindo em vec F=-K,nabla u obtém-se
vec F =-Kl(-cr^2hat err) =Kcr^2,hat er
Na superfície S temos r=a e o vetor normal externo hat n=hat er, então
vec Fcdothat n =Kca^2

Passo 4

Esboço da região de integração: é a superfície esférica de raio a centrada na origem, descrita por r=a, thetain[0,pi], phiin[0,2pi].
O elemento de área é
dS=a^2sintheta,dtheta,dphi
Assim a taxa total de calor Q é
Q =integral duplaSvec Fcdothat n,dS =Kca^2 integral0^2pi!!integral0^pia^2sintheta,dtheta,dphi =Kca^2,4pi a^2 =4pi Kc

Passo 5

Para escrever em função da temperatura na própria esfera, note que
u(a)=ca Longrightarrow c=a,u(a)
Assim
Q=4pi K,c =4pi K,a,u(a)

Resposta

boxedQ=4pi K,cou, equiva<=ntemente, Q=4pi K,a,u(a)

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